Шананин А.А. Математические модели в экономике
.pdf50
3.3.1 Модель олигополической конкуренции Курно
N = {1, ..., n} — множество производителей. X — набор товаров.
P (X) — обратная функция спроса, которая показывает, по какой цене производители согласны купить набор товаров X.
P (X) удовлетворяет условию:
A1 |
P (X) C2, P 0(X) < 0, P (0) > 0 |
|
M > 0 : P (M) = 0, M — максимальный объем продажи товара (объем насыщения). |
Производитель описывается функцией издержек:
ci(x) — функция издержек i-го производителя (какие затраты должен сделать производитель что бы выпустить товар в объеме X, имеются ввиду денежные затраты).
ci(x) удовлетворяет условию:
A2 |
i Nci(x) |
2 C2 |
|
|
|||||
|
|
dci(x) |
> 0, |
d ci(x) |
> 0 |
— выпуклость ci. |
|||
|
|
dx |
|
|
dx2 |
|
Основная идея заключается в том, что чем больше товаров мы берем, тем меньше платим. Опишем поведение i-го производителя:
xi — выпуск i-го производителя, xi [0, M].
n
P
X = xj — суммарный выпуск.
j=1
Выбор стратегии определяет прибыль производителя:
n
P
ui(~x) = P ( xj)xi − ci(xi) — прибыль i-го производителя (его целевая функция). Можно
j=1
заметить, что на прибыль влияет суммарный выпуск.
Получили игру в нормальной форме. Компромиссом является равновесие по Нэшу.
Теорема. Пусть выполнены условия A1 и A2 и кроме того, будем считать, что функция P (X)X является выпуклой. Тогда в модели Курно существует и единственное равновесие по Нэшу.
P.S. Если P (X) вогнута, то и P (X)X вогнута (P 00(X) 6 0)
(P (X)X)00 = P 00(X)X + 2P 0(X) = |
P 00(X)X |
6 |
0). |
|
|
|
Доказательство. Существование
[0, M] — множество стратегий i-го игрока — выпуклый компакт (выполнено 1-ое условие теоремы Нэша).
ui(~x) — непрерывная функция по совокупности переменных (x1, ..., xn) (выполнено 2-ое условие теоремы Нэша). Покажем, что ui(xi, ~x−i) вогнута по xi при условии, что стратегии всех остальных игроков фиксированны. Так как существует вторая производная, то надо показать, что она неположительна.
∂2u (x |
, ~x |
) |
n |
|
n |
|
|
d2c |
(x ) |
||||||
i i |
−i |
|
= P 00( |
x )x + 2P 0( |
x ) |
|
|
|
i |
|
|
i |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂x2 |
|
X |
j i |
Xj |
j − |
|
|
dx2 |
|
|
|
||||
i |
|
j=1 |
|
=1 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
| |
|
{z |
|
|
} |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
Достаточно доказать, что
nn
X |
X |
|
P 00( |
xj)xi + 2P 0( xj) 6 0 |
(1) |
j=1 |
j=1 |
|
n
1. Если P 00( P xj) 6 0, то (1) очевидно
j=1
51
|
n |
|
|
|
2. Если P 00( |
jP |
|
|
|
xj) > 0, то можно сделать следующую оценку: |
||||
|
=1 |
|
|
|
n |
n |
n |
n |
n |
X |
X |
X |
Xj |
X |
P 00( xj)xi + 2P 0( |
xj) 6 P 00( |
xj) |
xj + 2P 0( xj) 6 {P (X)X — вогнута} 6 0 |
|
j=1 |
j=1 |
j=1 |
=1 |
j=1 |
= по теореме Нэша существует равновесие по Нэшу в модели Курно.
Единственность
Пусть есть еще одно равновесие по Нэшу (x1, ..., xn).
n
Обозначим G = P xj — суммарный выпуск.
j=1
Мы знаем, что
u (x , ~x |
) = |
max |
|
P (x + |
X |
|
|
(x ) |
|
|||
i |
i −i |
|
xi |
|
[0,M] |
{ |
i |
j |
i − |
i |
i |
} |
|
|
|
|
|
|
|
i6=j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Без ограничения общности можно считать, что M = ∞ (при xi > M прибыль становится отрицательной максимум будет тот же). Производная функции в точке максимума равна нулю:
P 0(G)x + P (G) |
− |
dci(x ) |
= 0, |
еслиx > 0 |
|
|||||||||||
|
|
i |
|
|
||||||||||||
|
dxi |
|
|
|||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
P 0(G)x + P (G) |
− |
dci(x ) |
6 |
0, |
еслиx = 0 |
|
||||||||||
|
|
i |
|
|
||||||||||||
|
dxi |
|
|
|||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|||||
Задача дополнительности для i-го производителя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
P 0(G)x + P (G) |
|
|
|
|
dci(xi) |
|
6 |
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
dxi |
|
|
|
||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||
( xi[P 0(G)xi + P (G) |
|
− |
dci(xi) |
] |
= 0 |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
dxi |
|
|
|
|
|
||
В первом неравенстве P 0(G)x < 0 и |
dci(xi) |
> |
|
0. Для i-го производителя его оптимальное |
||||||||||||
dxi |
|
|
||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение является решением задачи дополнительности ( i). Как устроено решение задачи дополнительности? Есть два варианта:
1.Производитель ничего не выпускает он избыточен.
2.Он выпускает ровно столько, что выполняются все условия.
Решение (2) определяет функцию xi(G) — определяет однозначно, т.е. она единственна. При
нашем предположении о том, что P 0(G) < 0 и |
|
dci(xi) |
|
> |
0 |
|
P 0 |
(G)x + P (G) |
− |
dci(xi) |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
dxi |
|
|
dxi |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|||||||||
— монотонно убывает по xi, при |
G |
фиксированном, причем в пределе при |
x |
→ ∞ |
функция |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dc (x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
стремится к −∞. Так как P 0(G)xi + P (G) − |
|
i i |
|
монотонно убывает, то возможны два |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dxi |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
варианта: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. или |
xi(G) : P 0(G)xi + P (G) − |
|
dc (x |
) |
= 0 |
(?) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
i i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. или |
xi(G) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим: I(G) = {i | |
xi(G) > 0} — те фирмы которые что-то выпускают. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Продифференцируем (?): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P 00(G)x |
(G) + P 0 |
(G) |
dxi(G) |
+ P 0(G) |
|
d2c |
dxi(G) |
= 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
dG |
|
dG |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− dxi |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= |
|
dxi(G) |
= |
P 00(G)xi(G)+P 0(G) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
dG |
|
|
|
|
d2ci |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− P 0(G) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
| {z } |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
>0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|{z} |
|
<0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
52
Видно, что знаменатель никогда не обращается в ноль. Введем еще два обозначения:
|
|
|
I+(G) = {i I(G) | |
dxi(G) |
> 0} |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
dG |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
I−(G) = {i I(G) | |
dxi(G) |
6 |
0} |
|
|
|
|
|
|||||||||
I+(G) |
|
|
|
dG |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
— агенты которые при увеличении G ведут себя агрессивно. |
||||||||||||||||||||
I−(G) |
— агенты которые при увеличении G ведут себя пассивно. |
|||||||||||||||||||
|
Если |
i I+(G), |
|
то |
0 6 |
dxi(G) |
6 |
−1 − xi(G) |
P 00(G) |
|||||||||||
|
|
dG |
|
|
P 0(G) |
|
||||||||||||||
|
Если |
i I−(G), |
|
то |
− 1 − xi(G) |
P 00(G) |
6 |
dxi(G) |
6 0 |
|||||||||||
|
|
P 0(G) |
dG |
|
||||||||||||||||
|
P (G)G – вогнута |
|
P 00(G)G + 2P 0(G) |
|
|
0 |
|
|||||||||||||
|
|
|
P 00(G) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G6 |
|
|
||||
|
|
− |
|
> |
|
, i I0(G) |
xi(G) > 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
P 0(G) |
G |
|
|
|
|
{Один агент не может контролировать более половины рынка}
= |I − +(G)| 6 1
n
Хотим доказать, что G − xi(G) = 0, то есть хотим доказать, что эта величина монотонна.
i=0
Просуммируем по всем |
агентам, которые хоть что-то производят: |
|||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 − |
|
X |
dxi(G) |
|
X |
dxi(G) |
|||
|
|
|
|
dG |
|
dG |
||||||
|
|
|
|
|
|
> 1 − |
||||||
|
|
|
|
|
i I(G) |
|
|
i I+(G) |
|
|||
1. |I+(G)| = 0, |
|
dGd [G − |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 xi(G)] > 0 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
iP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
dxi(G) |
|
|
P 00(G) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |I+(G)| = 0, |
|
|
|
dG > 2 − xi(G) P 0(G) > 0 |
||||||||
1 − |
|
|
i I+(G)
= решение модели Курно единственно.
3.3.2Монополия
Производитель один и он распоряжается всеми производственными мощностями. Введем некоторые обозначения:
n |
n |
X |
X |
c(x) = min{ ci(xi) | |
xi = x, xi > 0, i = 1, ..., n} |
i=1 |
i=1 |
— суммарная функция издержек, можно заметить, что каждый выпуск > 0. Монополист хочет максимизировать объем, что бы издержки были минимальными. Эту функцию можно представить в таком виде:
|
|
c(x) = c1(x) |
... |
|
cn(x) |
|
|
выпукла, то и |
||||||||
в выпуклом анализе функция такого вида |
называется конволюцией. Если |
c(x) |
||||||||||||||
|
M M |
|
|
|
||||||||||||
все ci(x) выпуклы. Усилим требования на ci(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
A20 |
i N ci(x) C2, |
|
dci(x) |
> 0, |
d2ci(x) |
< 0 |
|
|
||||||||
|
dx |
dx2 |
|
|
||||||||||||
Задача. Доказать, что c(x) дифференцируема. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Лемма. Пусть x1(x), ..., xn(x)) решение задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pi=1 xi = x−→ |
min |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x1 |
i=1 ci |
(xi) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
> 0, ..., xn > 0 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
P |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда, если xj(x) > 0, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dcj(xj(x)) |
= |
dc(x) |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dxj |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
53
Доказательство. Составим функцию Логранжа и воспользуемся теоремой Куно-Таккера:
n
X
L(~x, λ) = sumni=1ci(xi) + λ[x − xi]
i=1
Если xj(x) > 0, то dcj(xj(x)) = λ
dxj
Введем обозначение:
I(x) = {i | xi(x) > 0}
тогда
|
|
|
c(x) = |
P |
|
P |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ci(xi(x)) + |
ck(0) |
|
|
|
||||||
|
|
|
i I(x) |
|
k /I(x) |
|
|
|
|
|
|||
|
dc(x) |
= i PI(x) |
dc (x (x)) dxi(x) |
= λ i PI(x) |
dxi(x) |
= |
|
|
|||||
|
|
|
i i |
|
|
|
|
|
|
||||
|
dx |
dxi |
dx |
dx |
∂xi(x) |
|
|||||||
= {x = i PI(x) xi(x) |
– дифференцируем по |
x |
1 = i PI(x) |
|
} = λ |
||||||||
∂x |
Замечание. Если фирма ничего не выпускает (xj(x) = 0), то предельные издержки должны
быть выше чем ( |
dcj(0) |
> |
dc(x) |
). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dxj |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Лемма. |
|
|
|
|
|
dc (x ) |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
dc (x ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
6 j I(x ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
j I(x) |
|
dxj |
j |
|
|
|
Pdx |
x ) |
|
|
dxj |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
min |
|
j |
|
|
|
|
|
|
dc( |
|
|
max |
|
|
|
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь x , ..., x — равновесие по Нэшу вмодели Курно, x = |
iP |
|
x , I(x ) = |
{ |
j |
| |
x > 0 |
} |
. |
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
i |
|
|
j |
|
||||||
Доказательство. |
|
|
|
|
|
ci(xi)| n |
xi = x, xi 6 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
c(x) = min ( n |
|
|
xi( |
n |
xj ) 6= xi |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
|
|
|
|
|
dc (x ) |
|
|
|
|
dci |
xi |
j=1 xj !! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
6 |
|
|
|
|
P |
|
, |
|
i |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a)xi |
j=1 xj ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dc |
(x |
) |
|
|
|
dci |
j=1 xj ! |
|
dc |
(x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
= |
|
|
P |
|
< |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
dxi |
|
|
|
|
dxi |
|
dxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из вогнутости следует, что
|
n |
|
|
|
xi |
Xj |
xj |
< xi |
|
|
|
|||
|
=1 |
|
|
|
b)xi |
j=1 xj ! |
= 0 6 xi |
|
n |
|
|
P |
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
Xi |
xi |
X |
xj |
< |
X |
|
|
|
|
xi |
|||
=1 |
|
j=1 |
|
|
|
i=1 |
54
P (x)x − c(x) −→ max — монополист максимизирует свою прибыль.
χµ — решение задачи дополнительности, χµ > 0 : |
|
|
|
|
|
( χµ[P 0(χµ)χµ + P (χµ) −c(χµ) |
] = 0 |
||||
P 0(χµ)χµ + P (χµ) |
c(χµ) |
6 |
0 |
||
dχ |
|
||||
− |
|
|
|
|
|
|
dχ |
|
|
|
3.3.3 Совершенная конкуренция
pxi − ci(xi) −→ maxxi>0 — для каждого производитьеля.
p – цены, i = 1, ..., n. p считаем фиксированным, находим xi, xˆi(p) – решение задачи.
Определение. pc — назвается ценой совершенной конкуренции, если
n
X
P ( xˆi(pc)) = pc
i=1
n
P
xc = xˆi(pc) — выпуск в условиях совершенной конкуренции.
i=1
Задача. Если xc является выпуском в условиях совершенной конкуренции, то dc(xc)
dx
{Предельные издержки установятся на уровне цены}
Из этого упражнения следует следующий факт: xµ < xc
Доказательство.
Рис. 3.3:
На рисунке 3.3 дана иллюстрация.
P (X) − |
dc(x) |
— монотонно убывает. Достаточно доказать, что P (xµ) − |
dc(xµ) |
> 0 т.к. |
||||||
dx |
dxµ |
|
||||||||
|
|
xµ < xv |
P (xµ) − |
dc(xµ) |
> 0 |
|
|
|
||
|
|
xµ |
|
|
|
|||||
А это верно, так как |
dc(xµ) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
P (xµ) − |
|
|
= −xµP 0(xµ) > 0 |
|
|
|
||
|
|
xµ |
|
|
|
|
Рассмотрим {p~ , ~x1, ..., ~xm, ~y1 , ..., ~yn} :
1) ˜
j = 1, ..., n ~yj ψj(p~ ) = arg max p~ ~y
~y Yi
2) i = 1, ..., m ~xi ϕ˜i(p~ ) = arg max{ui(vx) | p~ ~x 6 p~ w~(i) + P αijπ˜j(p~ ), ~x 6 0}
3)
m |
m |
n |
Xi |
X |
X |
~xi 6 |
|
w~(i) + ~yi |
=1 |
i=1 |
j=1 |
m |
n |
m |
55
(3.1)
XX X
(p~ , |
w~(i) + |
~yj − |
~xi ) = 0 |
(3.2) |
|
i=1 |
j=1 |
i=1 |
|
3.3.4 Модификация функций спроса и предложения.
Теорема (Эрроу–Дебре). Пусть выполнены следующие условия :
P1 |
Yj являются выпуклыми замкнутыми множествами, 0 Yj (j = 1, ...n) |
C1 |
ui(~x) – вогнутая непрерывная на R+l ненасыщаемая функция (i = 1, ..., n) |
C2 |
w~(i) > 0 (i = 1, ..., m) |
|
n |
P2 |
Y = j=1 Yj – алгебраическая сумма множеств, Y ∩ R+l = {0} (условие отсутствия |
|
рога изобилия)P |
P3 |
Y ∩ (−Y ) = {0} (условие необратимости технологических процессов) |
|
m |
C-P |
P αij = 1 (j = 1, ..., n) (прибыль производителей полностью распределена между по- |
i=1
требителями),
тогда существует конкурентное равновесие.
Рассмотрим для каждого производителя вспомогательное множество :
m |
|
|
X |
X |
|
(i) |
|
˜ |
w~ |
+ ~yk + ~y > 0, ~yk Yk k 6= j} |
|
Yj = {~y Yj| |
|
||
i=1 |
|
|
k6=j |
— множество наборов, которые могут быть реализованы, используя запасы потребителя и технологии так, что ~y обеспечивается ресурсами. Если реализуется конкурентное равновесие,
то ˜ (из (3.1)) ограничимся только теми наборами, которые могут быть реализованы,
~yj Yj
т.е.
|
|
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
˜ |
|
|
Xi |
|
(i) |
|
X |
|
|
|
X = {~x > 0 | ~yj Yj (j = 1, ..., n) |
w~ |
|
+ |
~yj > ~x} |
|
(3.3) |
|||
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
j=1 |
|
|
Лемма. |
Множества |
˜ ˜ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Yj, X являются ограниченными. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
˜ |
– ограничено, т.к. в (3.3) w~ |
(i) |
– фиксировано, |
||||
Доказательство. Достаточно доказать, что Yj |
|
|||||||||
|
|
˜ |
˜ |
|
|
|
|
|
|
|
~yj – ограничено в силу ограниченности Yj X – ограничено. |
|
|
|
Докажем ограниченность всех ˜ от противного :
Yj
mn
X |
X |
|
~yj(ν) Yj |
w~(i) + ~yj(ν) > 0 |
(3.4) |
i=1 |
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
56 |
|
Пусть |
µ(ν) = |
|
max ~y (ν) |
k |
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
16j6n k |
j |
|
|
|
|
νlim µ(ν) = +∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.5) |
||||||||||||||||||||||
Поделим (3.4) на µ(ν) |
|
|
|
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
~yj(ν) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xi |
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
µ(ν) |
|
w~(i) + |
|
|
|
µ(ν) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
j=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
по построению |
~yj(nu) |
6 |
1 последовательность ограничена, следовательно можно выделить |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
µ(ν) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сходящуюся |
подпоследовательность : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~yj(ν(t)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= ~yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→∞ µ(ν(t)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По предположению Yj – выпукло : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
~yj(ν(t)) |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= |
|
~yj |
+ |
1 − |
|
|
0 Yj, т.к. 0, ~yj |
Yj, 0 < |
|
|
< 1 ( в силу (3.5) ) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
µ(ν(t)) |
µ(ν(t)) |
µ(ν(t)) |
µ(ν(t)) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Yj |
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
Переходя к пределу в (3.6), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
– замкнуто ~yj Yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~yj > |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
По построению µ(ν) по крайней мере при одном j |
|
~yj(ν) |
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
µ(ν) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
: |
|
|
|
j |
|
|
n |
: ~y |
|
|
= 0 |
(3.9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
существует по крайней мере одно |
|
|
0 |
|
|
1 |
6 |
0 |
6 |
ˆ |
j0 |
6 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Воспользуемся предположениями теоремы Эрроу–Дебре. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
n ˆ |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
По условию P2 (Y ∩ R+ = {0}) j=1 ~yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ˆ |
ˆ |
|
|
P |
|
|
|
|
P |
|
|
|
ˆ |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ˆ |
= ~ys + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~yj + 0 −Y |
|
(по (3.8)) ~ys Y ∩ (−Y ) по P3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
~ys |
k6=s |
0 Y = |
|
Yj −~ys = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
j6=s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
~ys = 0, что противоречит (3.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
Выберем достаточно большой замкнутый параллелепипед E Rl Хотим, чтобы |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
|
|
int E |
|
|
|
|
|
|
(3.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yj int E, X int E, 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
E = {~x |~a |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
˜ |
|
|
||||||
6 ~xb}, a и b выбирем из (3.10) (это можно сделать, т.к. X и |
Yj – ограничены). |
Рассмотрим вспомагательные задачи, в которых можество затрат–выпусков ограничено параллелепипедом E.
ψj(p~) = arg max p~y. Этот максимум достигается, т.к. Yj ∩ E – компакт, p~y – линейная непре-
~y Yj∩E
рывная функция.
πj(p~) = max p~y
y~ Yj∩E
Функцию спроса и предложения можно переписать в виде :
ϕi(p~) = arg max{ui(~x) | ~x > 0 и p~x 6 p~w(i) + |
n |
|||
=1 αijπj(p~), ~x E} |
||||
Функция избыточного предложения : |
jP |
|||
χ(p~) = |
m |
m |
n |
|
=1 w~(i) + j=1 |
ψj(p~) − i=1 ϕi(p~) |
|
||
|
iP |
P |
P |
|
Лемма. Пусть p~ > 0, p~ 6= 0 такой, что χ(p~ ) ∩ Rl+ 6= , тогда существует конкурентное равновесие с ценами p~
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57 |
Доказательство. ~xi ϕ(p~ ), |
|
~yj ψ(p~ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
m |
|
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 w~(i) + j=1 ~yj − i=1 ~xi > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
{ |
1 |
m |
1 |
|
n} |
является конкурентным равновесием. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
iPp~ , ~x , ...,P~x |
, ~y |
, ...P, ~y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1) |
Докажем, что ~yj ψ˜j(p~ ) от противного : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
~yj Y˜j intE |
по построению ~y˜j |
Yj |
: p~ ~y˜j |
|
> p~ ~yj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
~y(t) = t~y |
+ (1 |
− |
t)~y˜ |
|
p~ ~y(t) > p~ ~y |
|
|
t |
|
(0, 1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 < t < 1: ~y(t) Yj ∩ E, что противоречит ~yj ψ(p~ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
~y ψ˜j(p~ ), πj(p~ ) = π˜j(p~ ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2) |
Докажем, что ~xi ϕ˜i(p~ ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
˜ |
|
|
|
|
|
~x˜ |
> |
|
0, p~ ~x |
6 |
p~w(i) |
jP |
|
π˜ |
|
(p~) и u (~x˜) > u |
(~x ) |
|
|
|
||||||||||||||
|
предположим противное |
|
|
+ |
|
α |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
ij |
|
j |
|
|
i |
i |
|
i |
|
|
|
|
|||||||
|
~x(t) = t~x |
+ (1 |
− |
t)~y |
> |
0 t |
|
|
(0, 1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
По неравенству Иенсена для вогнутых функций : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
u (~x(t)) |
> |
tu |
(~x ) + (1 |
|
− |
t)u (~x˜) > u |
(~x ) t |
|
(0, 1] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
i |
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
~xi X˜ intE |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 < t0 < 1 : ~x(t0) E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p~ ~x(t) |
|
p~ w~ + |
n |
|
|
π˜ |
|
(p~), т.е. ~x(t) |
|||||||||||||||
|
~x,˜ ~x – удовлетворяют бюджетным ограничениям |
|
6 |
|
α |
ij |
j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
, т.к. |
|||||
|
тоже удовлетворяет бюджетным ограничениям |
|
|
|
|
|
|
|
что |
~xi |
ϕ(p~ ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
противоречие с те,P |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
нашли точку, которая лучше. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3) |
|
|
|
|
|
m |
w~(i)[s] + |
n |
|
~y [s] |
|
|
|
m |
~x [s] = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Если p~ > 0, то |
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
s |
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
j=1 |
j |
|
− i=1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неравенство p~ ~xi 6 p~ w~i |
|
jP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
+ αijπ˜j(p~ ) превращается в равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Задача. Доказать это. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
m |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
p~ = p~ w~ + |
P P |
α π˜ (p~ ) = p~ w~ + (p~ ) = p~ w~ + p~ ~y |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
iP |
|
P |
|
i |
|
|
ij |
j |
|
|
|
|
|
|
P |
i |
|
P |
|
|
|
P |
i |
P |
|
j |
|
|||||||||||||
|
=1 |
|
i=1 |
|
|
i=1 j=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
j=1 |
|
|
|
i=1 |
j=1 |
|
|
Лемма (Закон Вальраса в широком смысле). Пусть ~u χ(p~), где p~ > 0, p~ 6= 0, то p~u > 0
Задача. Доказать лемму.
l
Лемма (Гейл–Никайдо–Дебре). Пусть S = {(p1, ..., pl) > 0| P ps = 1}, χ: S → 2 , где –
s=1
выпуклый компакт в Rl. Если
1)p~ S χ(p~) – непустое выпуклое множество;
2)χ – замкнутое отображение;
3) p~ S, u χ(p~) |
p~u > 0 |
|
|
|
|
||||||
Тогда |
|
p~ |
|
S: χ(p~ ) |
|
l |
= |
|
|
|
|
|
|
|
∩ R+ |
6 |
|
|
|
|
|||
Доказательство. Вспомним точечное отображение : |
|
|
|||||||||
p~ S, ~u ставится в соответствие вектор из S |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
θi(p,~ ~u) = |
pi + max(0, −ui) |
, i = 1, ..., l |
(3.11) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
=1 max(0, −us) |
|
|
58
PP
θi = 1, т.к. pi = 1
θ : S × → S непрерывно и однозначно. |
|
|||||
~ |
× |
χ: S |
× |
|
→ |
2S× |
Декартово произведение θ~ |
|
|
|
(θ(p,~ ~u), χ(p~)) S ×
~ × : × → S× непустое выпуклое отображение,
θ χ S 2
~× – замкнутое отображение,
θχ
S × – выпуклый компакт по теореме Какутани существует неподвижная точка p~ S,
: ~ , (3.11) примет вид :
~u θ(p~ , ~u ) = p~ ~u χ(p~ )
|
|
|
|
|
p |
+ max(0, |
u ) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
i |
|
|
− i |
|
= pi |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
sP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
=1 max(0, −us) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
u ) = max(0, |
u ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
p |
max(0, |
|
|
|
(3.12) |
|||||||
|
|
|
i |
|
− s |
|
|
|
|
− i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
s=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножим (3.12) на ui и просуммируем : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
0 |
6 |
X |
max(0, |
|
Xi |
|
|
u ) = |
|
X |
u ))2 |
6 |
0 |
|||
p~ ~u |
|
u ) = |
u max(0, |
− |
(max(0, |
|||||||||||
|
s=1 |
|
− s |
i |
|
|
− i |
|
|
− i |
|
|||||
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
max(0, −ui ) = 0 ui > 0 i = 1, ..., l ~u > 0 χ(p~ ) ∩ Rl+ 6=
Задача. Доказать 2).
Пример (Эрроу). l = 2, m = 2, n = 1, Y = {0}
u1(x1, x2) = x1, w~(1) = (1, 1),
u2(x1, x2) = x1 + x2, w~(2) = (0, 1). Конкурентное равновесие не существует. Пусть существуют равновесные цены p1 и p2.
p2 = 0 неограниченный спрос на второй товар у второго потребителя, а его запас ограничен равновесия не существует.
Теорема (Первая теорема теории благосостояния). Пусть {p~ , ~x1, ..., ~xm, ~y1 , ..., ~yn} – конкурентное равновесие. Тогда оно оптимально по Паретто, т.е.
6 ~x1, ..., ~xm, ~y1, ..., vyn :
1) |
~yj |
Yj j = 1, ..., n |
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
m |
|
|
n |
m |
|
|
|
|
|
|
iP |
w~(i) + ~yj > xi |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
P |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
j=1 |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
u (~x ) |
> |
u (~x ) (i = 1, ..., m) |
|
u |
i0 |
(~x ) > u |
i0 |
(~x ) |
||
|
i |
i |
i i |
|
|
i |
i |
Задача. Доказать эту теорему.