Вопрос20. Моменты распределения, их подсистемы. Определение ассиметрии и эксцесса.

В математической статистике под моментом К-го порядка понимается средняя арифметическая в К-ой степени отклонения отдельных вариантов от какой-то постоянной величины (А). Если наши А – это любое производное число, то момент К-ого порядка: ; Xi – индивидуальный показатель, А – любое произвольное число, К – степень отклонения, fi – частота индивидуального показателя Xi.

А=0=>Мк – начальные;

А= =>Мк – центральные Центральный момент 3-го порядка используется для характеристики ассиметричности распределения вариационного ряда, а 4-го порядка – в качестве характеристики крутости ряда или эксцесса.

Вопрос 21. Представление о форме распределения.

Для получения приближенного представления о форме распределения строят графики распределения – это полигон и гистограмма. При большом числе наблюдения полигон превращается в кривую нормированного распределения, т.е. в кривую теоретического распределения. В практике стат-кого исследования встречаются: Одновершинная кривая – характеризует однородные совокупности; Многовершинные кривые свидетельствуют о неоднородности изучаемой совокупности. Проявление 2-х или более вершин говорит о необходимости перегруппировки данных с целью выявления более однородных групп. Выявление общего характера распределения предполагает оценку степени его однородности и вычисление показателей ассиметрии и эксцесса.

Симметричным является распределение, в котором частота любых 2-х вариантов равностоящих в обе стороны от центра распределения равны между собой. Для симметричного распределения имеет место равенство среднеарифметической моды и медианы. В связи с этим, простейший показатель ассиметрии основан на соотношении показателей центра распределения. Чем больше разница между средней величиной и модой, тем больше ассиметрия ряда. Для оценки степени ассиметричности применяют моментный и структурный коэффициенты ассиметрии.

Моментный коэффициент ассиметрии включает всю совокупность единиц, и поэтому его величина зависит от наличия в совокупности резко выделяющихся единиц (желательно их исключить из совокупности), а если это не удается, то необходимо использовать структурные коэффициенты ассиметрии, которые не зависят от крайних значений признака и характеризуют только центральную часть распределения. Моментный коэффициент определяется по следующей формуле: , где As – моментный коэффициент ассиметрии, М3 – центральный момент 3-го порядка, - СКО в 3-й степени. . Если ассиметрия по этой формуле по модулю больше 0,5, то ассиметрия считается значительной, если равна 0,25 – незначительной. На направление ассиметрии указывает знак коэффициента: As<0 – отрицательная левосторонняя ассиметрия, As>0 – положительная правосторонняя ассиметрия.

Также необходимо определить степень существенности ассиметрии. Она оценивается с помощью среднеквадратической ошибки коэффициента ассиметрии, которая зависит от объема изучаемой совокупности. , n – число единиц совокупности. Если отношение момента коэффициента ассиметрии к среднеквадратической ошибке коэффициента ассиметрии больше 3, то ассиметрия считается существенной, если меньше 3 – несущественной.

Структурный коэффициент ассиметрии характеризует ассиметричность только в центральной части распределения. Он предложен английским статистиком С.Пирсеном. Asп – структурный показатель ассиметричности, - среднеарифметическая величина совокупности, Мо – мода, Ме – медиана.