Лабораторная работа №18. Определение ускорения свободного падения с помощью математического маятника.
Приборы и принадлежности, используемые в работе:
1. Математический маятник (шарик, нерастяжимая нить).
2. Штангенциркуль.
3. Секундомер.
Цель работы:
Научиться с помощью математического маятника, с наибольшей точностью, определять ускорение свободного падения.
1. Теоретическое введение.
Математическим
маятником
называется материальная точка, подвешенная
на невесомой, нерастяжимой
нити. В положении равновесия, когда
маятник висит по отвесу, сила тяжести
уравновешивается силой натяжения
нити
.При
отклонении маятника из положения
равновесия на некоторый угол
появляется касательная составляющая
силы тяжести
F=-mg
sin
(рис. 1). Знак «минус» в этой формуле
означает, что касательная составляющая
направлена в сторону, противоположную
отклонению маятника.
Математический маятник, -угловое отклонение маятника от положения равновесия, х =L -смещение маятника по дуге (Рис. 1).
Если обозначить через х линейное смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиуса L, то его угловое смещение будет равно = x / L. Второй закон Ньютона, записанный для проекций векторов ускорения и силы на направление касательной, дает:
=
F
= -
Это
соотношение показывает, что математический
маятник представляет собой сложную
нелинейную
систему, так как сила, стремящаяся
вернуть маятник в положение равновесия,
пропорциональна не смещению х,
а
.
Только в случае малых колебаний, когда приближенно можно заменить на x / L математический маятник является гармоническим осциллятром, т. е. системой, способной совершать гармонические колебания.
Практически такое приближение справедливо для углов порядка 15-20°; при этом величина отличается от x / L не более чем на 2 %.
Колебания маятника при больших амплитудах не являются гармоническими.
Для малых колебаний математического маятника второй закон Ньютона записывается в виде:
Таким образом, тангенциальное ускорение a маятника пропорционально его смещению х, взятому с обратным знаком. Это как раз то условие, при котором система является гармоническим осциллятором. По общему правилу для всех систем, способных совершать свободные гармонические колебания, модуль коэффициента пропорциональности между ускорением и смещением из положения равновесия равен квадрату круговой частоты:
Эта формула выражает собственную частоту малых колебаний математического маятника.
Следовательно,
На практике приближенно в качестве математического маятника можно взять шарик, подвешенный на легкой, нерастяжимой нити. Размеры шарика должны быть малы по сравнению с длиной нити. Шарик должен быть тяжелым, тогда нить можно считать невесомой.
При малых углах отклонения математического маятника колебания будут
гармоничными. Период колебаний при этом не зависит от амплитуды колебаний и от массы маятника. Он выразится формулой:
(1),
где Т - период колебания маятника, L- длина маятника, g - ускорение свободного падения в том месте, где находится маятник.
Из формула (1) видно, что измерив опытным путем период колебания маятника и его длину, можно определить ускорение свободного падения:
(2)