7.2. Декартова система координат в пространстве
Определение 19. Прямоугольной системой координат в пространстве называется тройка взаимно перпендикулярных числовых осей, имеющие общее начало и совпадающее с точкой пересечения.
Оси, составляющие
прямоугольную систему координат в
пространстве называются координатными
осями и
обозначаются
,
и
:
– ось абсцисс;
– ось ординат;
– ось аппликат.
Положение каждой точки пространства определяется тремя вещественными числами. Этими числами являются:
1) проекция точки на ось ; обозначают ;
2) проекция точки на ось ; обозначают .
3) проекция точки
на ось
;
обозначают
.
Рис. 21
Определение 18.
Упорядоченная тройка чисел
называется прямоугольными
(декартовыми)
координатами
точки
пространства
и обозначается
.
Каждой точке пространства соответствует единственная упорядоченная тройка числе и, наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная точка пространства .
Координатные оси , и делят пространства на восемь октантов. Каждая точка , не принадлежащая координатным осям, содержится в одной из восьми октантов. Обозначение этих октант и знаки координат точки:
|
Октант |
Знаки |
Октант |
Знаки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
На каждой из координатных осей выберем единичный вектор с началом в точке и концом в точке с координатой . Обозначим:
– единичный вектор
оси
;
– единичный вектор
оси
;
– единичный вектор
оси
.
Эти три единичных вектора называются ортами. Они образуют декартов ортогональный базис.
Рассмотрим вектор в пространстве. Отложим его из начала координат (рис. 22). Через его конец проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Получим прямоугольный параллелепипед, диагональю которого является вектор .
Рис. 22
Из рис. 22 ясно, что:
.
Векторы
,
и
являются составляющими вектора
.
Представив составляющие с помощью
произведения проекции на единичный
вектор, получим
, 
, 
.
Обозначив
, 
, 
,
будем иметь
.
Полученная формула
называется разложением
вектора на
составляющие по координатным осям.
Числа
называются прямоугольными
декартовыми координатами вектора
.
Координаты вектора будем записывать в
виде
.
Вектор
с началом в начале координат и концом
в точке
называется радиус-вектором
точки
.
Координаты радиус-вектора
совпадают с координатами точки
:
или
.
Пусть
и
– произвольные точки пространства.
Координаты вектора
вычисляются по формуле
или
.
Для получения координат вектора из координаты конца нужно вычитать соответствующие координаты начала.
Если известны координаты вектора, то линейные операции над векторами можно заменить соответствующими арифметическими операциями над координатами.
Пусть
,
.
Тогда
;
;
.
Если векторы заданы в виде
,
,
то линейные операции выполняются так:
.
8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками
8.1. Длина вектора
Пусть – произвольный вектор. Длина вектора вычисляется по формуле:
.
8.2. Расстояние между двумя точками
Пусть
и
– произвольные точки пространства.
Расстояние между точками
и
вычисляется по формуле:
.
9. Направляющие косинусы вектора
Направление вектора
в пространстве можно задать углами
,
и
,
которые составляет данный вектор с
осями координат. Косинусы этих углов:
,
и
называются направляющими косинусами
вектора.
Рис. 23
Пусть – произвольный вектор. Согласно формуле проекции вектора на ось будем иметь
,
,
.
Отсюда получим значения направляющих косинусов:
или
,
,
.
Из полученных равенств вытекает следующее тождество
.
Полученное тождество означает, что среди углов , и независимыми являются только два, а третий определяется из тождества (с точностью до знака).