2. Действия над векторами
В качестве действий над векторами, рассматриваются линейные операции – умножение вектора на число, сложение и вычитание.
2.1. Умножение вектора на число
Определение 6.
Произведением
вектора
на вещественное число
называется вектор
,
коллинеарный вектору
,
имеющий длину
и сонаправленный с вектором
,
если
,
и противонаправленный с вектором
,
если
.
Произведением вектора
на число
обозначается
или
.
На рис. 6 – рис. 9
показаны пары векторы
и
,
и
,
и
,
и
Рис. 3. Случай
Рис. 4. Случай
Рис. 5. Случай
Рис. 6. Случай
Противоположный
вектор
можно рассматривать как результат
умножения вектора
на число
:
.
Отметим некоторые свойства умножения вектора на число.
1.
– закон коммутативности.
2.
– закон ассоциативности.
3.
– закон дистрибутивности.
4.
– закон дистрибутивности.
Теорема 1.
Для коллинеарности векторов
и
,
необходимо и достаточно существование
числа
такого, что выполняется хотя бы одно из
равенств
или
.
2.2. Сумма векторов
Определение 7.
Суммой
векторов
и
называется вектор
,
вычисляемый как диагональ параллелограмма,
построенного на этих векторах, имеющая
с ними общее начало (рис. 10). Сумма векторов
и
обозначается
.
Рис. 10
Отметим некоторые свойства суммы векторов.
1.
– закон коммутативности.
2.
– закон ассоциативности.
3.
.
4.
.
2.3. Разность векторов
Определение 8.
Разностью
векторов
и
называется вектор, сумма которого с
вектором
равна вектору
.
Разность
можно определить как сумму вектора
с вектором, противоположным к вектору
:
.
Разность векторов и можно вычислить по правилу параллелограмма, как диагональ этого параллелограмма, исходящей из конца вектора (рис. 11).
Сумма и разность векторов определялись по правилу параллелограмма. Можно эти две операции определить по правилу треугольника. Для определения суммы , следует параллельным переносом начало вектора совмещать с концом вектора . Для определения разности , следует концы этих векторов.
Рис. 11
3. Числовая ось
Числовой осью (числовой прямой) называется любая прямая, если:
1) на ней выбрана
некоторая точка, называемая началом
(центром)
и обозначаемая
;
2) любое из двух направлений, называемое положительным направлением и обозначаемое стрелкой;
3) некоторый отрезок, называемый единичным отрезком (масштабом).
Каждому вещественному числу на числовой прямой соответствует единственная точка на числовой оси:
1) положительное
число
изображается точкой, расположенной на
оси на расстоянии
по направлению стрелки;
2) отрицательное
число
изображается точкой, расположенной на
оси на расстоянии
против направления стрелки;
3) нулевое число
изображается началом оси.
Имеет место и обратное соответствие: каждой точке на числовой оси соответствует единственное вещественное число.
Пусть точке
числовой оси соответствует число
.
Координатой
точки
называется число
и обозначается
.
