Алгебра и геометрия конспекты лекций векторная алгебра

Содержание
1. Основные определения	3	8.1. Длина вектора	18
2. Действия над векторами	5	8.2. Расстояние между двумя точками	18
2.1. Умножение вектора на число	5	9. Направляющие косинусы вектора	18
2.2. Сумма векторов	7	10. Скалярное произведение двух векторов	20
2.3. Разность векторов	8	10.1. Определение скалярного произведения	20
3. Числовая ось	8	10.2. Свойства скалярного произведения	21
4. Единичный вектор	9	11. Векторное произведение двух векторов	21
5. Угол между векторами	10	11.1. Определение векторного произведения	21
6. Проекция вектора на ось	10	11.2. Свойства векторного произведения	22
7. Системы координат	13	12. Смешанное произведение трёх векторов	22
7.1. Декартова система координат на плоскости	13	12.1. Определение смешанного произведения	23
7.2. Декартова система координат в пространстве	14	12.2. Свойства смешанного произведения	23
8. Длина вектора. Расстояние между двумя точками	19

Лекция

Основные определения. Действия над векторами: умножение вектора на число; сумма векторов; разность векторов. Числовая ось. Единичный вектор. Угол между векторами. Проекция вектора на ось. Системы координат: декартова система координат на плоскости; декартова система координат в пространстве. Длина вектора. Расстояние между двумя точками. Направляющие косинусы вектора. Скалярное произведение двух векторов: определение скалярного произведения; свойства скалярного произведения. Векторное произведение двух векторов: определение векторного произведения; свойства векторного произведения. Смешанное произведение трёх векторов: определение смешанного произведения; свойства смешанного произведения

1. Основные определения

В физике и технических науках встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений. Эти численные значения являются вещественными числами. Такие величины называются скалярными. Скалярными величинами являются длина, площадь, объём, масса, температура и др.

Наряду со скалярными, встречаются величины, для определения которых необходимо знать их направления в пространстве, например, сила, скорость, ускорение и т.д. Такие величины называются векторными. Они описываются с помощью векторов.

Определение 1. Вектором (свободным вектором) называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление.

О всяком отрезке из этого множества говорят, что он представляет вектор. Одна из ограничивающих его точек принимается за начало, другая – за конец, который на рисунке показывается стрелкой. Если началом вектора является точка , а конец точка , то используется обозначение (рис. 1, рис.2).

Рис. 1 Рис. 2

Определение 2. Модулем вектора называется его длина. Модуль вектора обозначается (аналогично, ).

Определение 3. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется нулевым. Нулевой вектор обозначается .

Очевидно, что длина нулевого вектора равна нулю: . У нулевого вектора направление не определено. В качестве направления нулевого вектора можно брать желаемое в данный момент направление.

Определение 4. Векторы и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых. Коллинеарные векторы называются сонаправленными, если они направлены в одну сторону, и противонаправленными, если они направлены в разные стороны.

На рис. 3 приведены примеры сонаправленных векторов и , и противонаправленных векторов и .

Рис. 3

Определение 5. Векторы и называются равными, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Равенство векторов и обозначается .

Если векторы и равны, то при соединение начало вектора с началом вектора , а конец с концом получится параллелограмм (рис. 4). Верно и обратное правило: если при соединении начало вектора с началом вектора , а конца с концом получится параллелограмм, то векторы и равны.

Если векторы обозначены своими концами и , то равенство эквивалентно тому, что четырёхугольник является параллелограммом (рис. 5).

Рис. 4 Рис. 5

Определение 5. Вектор называется противоположным вектору , если они противонаправлены и имеют одинаковую длину. Если вектор противоположный вектору , то обозначается .

Если вектор обозначен с помощью его концов , то для обозначения противоположного вектора можно использовать любое из двух обозначений или .