Функциональные ряды
Ряд, элементами которого являются функции, называется функциональным рядом.
Обозначение
(*) , где
-
определены и непрерывны в одном и том
же интервале.
Ряд (*) для одних значений х может сходиться, а для других расходиться.
Значение
,
при котором числовой ряд
сходится,
называется точкой сходимости ряда
(*).
Совокупность всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда, или говорят, что ряд сходится в данной области. Обласью сходимости обычно бывает какой-либо интервал оси ОХ.
Пример
Ряд
сходится в интервале (-1;1), так как
при |x|<1 –
числовой ряд бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия.
При
- ряд расходится.
Сумма ряда является некоторой функцией от х, определенной в области сходимости ряда.
Обозначение
Для приведенного примера
,
для интервала (-1;1), то есть области
сходимости ряда.
- n –ая частичная
сумма;
остаток ряда.
Если ряд сходится, то
Известно, что сумма кончного числа непрерывных функций – функция непрерывная, и интеграл от такой суммы непрерывных функций равен сумме интегралов от этих функций. Точно также производная от суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных.
Можно ли эти свойства перенести на функциональные ряды?
Покажем, что для произвольных функциональных рядов эти свойства могут оказаться несправедливыми.
Рассмотрим ряд
При х=0 элементы ряда нули и S(0)=0.
При
-
ряд сходящаяся геометрическая прогрессия,
так как
и сумма ряда
Таким образом, S(x) – разрывная функция. Она имеет разрыв в точке х=0, то есть S(x)=1, если и S(0)=0.
Чтобы установить, в каких же случаях на функциональные ряды можно перенести свойства конечных сумм, введем новое определение.
Определение
Функциональный ряд (*) называется правильно сходящимся в области D, принадлежащей области сходимости ряда, если в области D все его элементы по абсолютной величине не превосходят соответствующих элементов некоторого числового ряда с положительными элементами.
Это значит, что во всех точках области
D должно выполняться
неравенство
,
где
- элемент сходящегося ряда
Этот ряд называется мажорирующим
(усиливающим) по отношению к ряду (*).
Пример
Ряд
правильно сходится в любом интервале
оси ОХ, так как
,
а ряд обратных квадратов сходящийся.
Свойства правильно сходящихся рядов
Сформулируем основные теоремы о правильно сходящихся рядах, которые дают ответ на вопрос о переносе на ряды свойств сумм конечного числа функций. Во всех теоремах предполагается, что область правильной сходимости ряда есть некоторый интервал оси ОХ.
Теорема 1
Если ряд из непрерывных функций правильно сходится в области D, то его сумма есть функция непрерывная в этой области.
Так ряд сходится правильно в любом интервале. Следовательно, его сумма S(x) – непрерывная функция.
Теорема 2
Если ряд из непрерывных функций правильно сходится, то интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, сотавленного из интегралов от этих функций:
(*)
Короткая формулировка
Правильно сходящийся ряд можно поэлементно интегрировать
Доказательство
Из определения правильной сходимости
данного ряда следует, что
,
где
- элемент сходящегося числового ряда.
По теореме об оценке интегралов, имеем
Но ряд с общим элементом
сходится, тогда сходится и ряд из
интегралов и даже абсолютно.
Замечание
Теорема 2 справедлива и в том случае, когда берутся интегралы с переменным верхним пределом
где
Пользуясь оценкой интегралов, имеем
.
Тогда и данный ряд сходится правильно.
Теорема 3
Если ряд
составленный из функций, имеющих
непрерывные производные, сходится в
области D и его сумма равна
S(x), а ряд
из производных
сходится в этой области правильно, то
производная суммы ряда S’(x)
равна сумме ряда из производных
Короткая формулировка
Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда, сходится правильно, то его можно поэлементно дифференцировать.
Замечание
Правильная сходимость данного ряда, а также дифференцируемость его суммы не предполагается, а является следствиеми условий теоремы. Однако проверка правильной сходимости ряда из производных совершенно обязательна; при невыполнении этого условия теорема может потерять смысл.
Пример
Ряд
правильно сходится (он мажорируется
рядом обратных квадратов) и его сумма
непрерывная функция.
Ряд из производных
расходится, так как его общий элемент
ни при каком х не стремится к нулю.
Следовательно теорем не применима.