4.4 Условия оптимальности

Рассмотрим преобразованную задачу [Муртаф, с. 28].

def. Вектор, на который умножается слева в уравнении ЦФ преобразованной задачи называется вектором относительных оценок небазисных переменных. Он указывает, в какую сторону и насколько изменится ЦФ при изменении компонент .

Будем обозначать этот вектор через :

.

Его j-ый элемент определяется так:

.

(Здесь неявно предполагается, что небазисные переменные перенумерованы от 1 до ).

Заметим, что если относительная оценка небазисной переменной положительна или равна нулю, но значение ЦФ не увеличивается при увеличении , начиная с нуля.

Теорема (условие оптимальности):

[Пападимитриу, с.51].

Для ДБР операция замещения, при которой переменная вводится в базис, изменяет значение ЦФ на величину

,

где

Если , то оптимально.

Доказательство:

Докажем сначала I часть теоремы.

Как и ранее, будем предполагать, что переменные перенумерованы т.о., что первые столбцов матрицы составляют базис .

Обозначим значение ЦФ в точке через :

Операция замещения заключается в следующем:

начинаем увеличивать небазисную переменную , при этом некоторые базисные переменные уменьшаются и q-я переменная первой достигает нулевого значения, т.е. переменная входит в базис, а переменная – выходит из него.

- первой обращается в ноль

начинаем увеличивать

В результате операции замещения получаем новое ДБР , в котором:

(вошедшая из базиса переменная).

(остальные небазисные переменные).

: , и при этом

. (вышедшая из базиса переменная);

В векторной форме это записывается так (нумерация переменных сохраняется):

или .

Знайдемо значення ЦФ в точці :

.

Отже, перша частина теореми доведена.

Докажем II часть теоремы.

Покажем теперь, что из условия следует оптимальность .

По аналогии с вектором

построим вектор ,

где В – базисная матрица, соответствующая ДБР .

Тогда вектор

, т.к. и .

Можно записать, что

,

действительно

Итак вектор соответствует ДБР .

Пусть – произвольное допустимое решение исходной задачи (18) (не обязательно базисное), т.е. , .

Очевидно, что (скалярное произведение векторов с неотрицательными компонентами).

,

,

Отже оптимальний розв’язок. 

ЗЛП будем называть невырожденной, если все ее ДБР не вырождены.

А теперь рассмотрим теорему обратную второй части последней теореме.

Теорема: Пусть ЗЛП является невырожденной, а – ДБР, являющееся ее решением. Тогда вектор .

Доказательство (от противного):

Пусть – (оптимальное) решение ЗЛП и при этом некоторое .

Начнём увеличивать от нуля и пусть эта переменная примет значение .

Рассмотрим вектор , соответствующий переменной . (Как обычно) возможны два следующих случая:

1. Все компоненты этого вектора неположительные.

Тогда вектор

при любом будет оставаться допустимым решением преобразованной задачи.

2. Пусть вектор имеет положительные компоненты. Как и ранее определим максимальное допустимое значение :

.

Так как по условию задачи решение не вырожденно, то есть , то

Тогда вектор будет оставаться допустимым решением преобразованной задачи при ,

Найдём значение ЦФ в точке :

Что противоречит тому, что решение исходной задачи. Значит, если – оптимальное ДБР ,то .

В том случае, если ЗЛП не является невырожденной предыдущая теорема приобретает вид:

Теорема: Для того, чтобы ДБР являлось решением исходной ЗЛП, необходимо и достаточно существование такого базиса для , для которого .

Без доказательства.

Теорема: Если некоторому ДБР исходной задачи соответствует задача, для которой существует небазисная переменная такая, что и , то целевая функция исходной задачи не ограничена на множестве допустимых решений