6. Огран-е, открыт-е, замкн. Мн-ва. Эквив. Нормы.

Открытое и замкнутое мн-во.

Пусть Х-НП.Открытым шаром н-ся мн-во .Замкнутым шаром н-ся мн-во .Сферой н-ся мн-во .Окрестностью в т.н-ся любой открытый шар с центром в т.. Мн-вон-сяогранич-м, если сущ-т шар конеч. радиуса, целиком сод-й мн-во М: . Мн-во М н-сяоткрытым ,если любая т. входит в него вместе с некоторой окрестностью, т.е.

Утв. Объединение любого числа и пересеч-е конеч. чила открыт. мн-в есть мн-во открытое.

Т. н-сяпред-й т-й мн-ва М, если . Мн-во М н-сязамкнутым, если оно содержит все свои пред-е точки. М’ – мн-во всех пред. точек мн-ва М. Замыкание мн-ва М .

Утв. Объедин-е конечн. числа и пересеч-е любого числа замкн-х мн-в явл-ся замкнут-м мн-вом.

(пустое мн-во, само пр-во) открытые и замкныт-е по опред-ю.

Утв. Сфера S(a,r) – явл-ся замкн. мн-вом. Д-во: Пусть x₀ – произв. пред-я т. мн-ва S(a,r). ,,,,,,,. ЧТД,

Эквивалентные нормы. Пусть Х-ЛП и в нем задана , Эти нормы эквив-ны, если.

Теорема. Если посл-ть сх-ся по одной из эквив-х норм, то она сх-ся и по др., причем к тому же эл-ту.

Теорема. Если банахово пр-во по одной из эквив. норм, то оно банахово и по др.

Теорема.В конечномерном пр-ве все нормы эквивалентны.

Пополнение нормир-х пр-в.

Пр-во н-сяпополнением НП Х, если 1. 2.-полное пр-во. 3.-пред. т-и Х.

Теорема. Всякое НП имеет пополнение.

7.Принцип сжимающ-ся отобр-й. Применение. Ур-е Фредгольма. Ур-е Вольтерры.

Пусть . Отобр-еf н-ся сжимающим, если , что.

Т. x* н-ся неподвижной точкой отобр-я f, если f(x*)=x*

Теорема (принцип сжим-х отображ-й). Пусть выполн. усл-я: 1) Пусть Х-БП и замкнут. мн-во 2)3)f – сжимающ. . Тогданеподв. т., причем кот. м.б. получена методом посл-х приближ-й, т.е.. При этом справ-ва оценка(1). Д-во: 1) Покажем, что посл. {x_n}-ф.п. Заметим, что т.к. , то. Оценим соседние члены (2) . Т.к. Х – полно,то , х* - пред. т.Q, т.к. Q – замкнуто, то . 2) х* - неподвиж. т. отобр-яf , т.е.- неподвиж. т. 3) Покажем единственность неподвиж. т.ПП Сущ. 2 непод. т-и х* и х** ,они совпадают. 4) Оценка скорости сх-ти (1)ЧТД,

Решение нелинейных скалярных уравнений.

1.

Теорема. и удовл. (3) тогда ур-е имеет ед-е реш-е, это реш-е м.б. получено мет. посл. прибл-й, начинас с.

Замечание. Усл-е (3) вып-ся, если f непр.-диф-мо и Это следует из ф-лы Лагранжа конеч. приращений:,f-сжим.

2. (4).

Теорема. Пусть отобр-е F- непр.-диф-со, причем , тогда ур-е (4) имеет ед-е реш-е. Это решение м.б. получено методом посл-х приближ-й.Д-во: Введем отобр-е и покажем, что, чтоf уд-т принципу сжим-ся отобр-й. ,. Покажем, что, такое, чтоf сжим-е. Оценим Нашлось такое, чтоf(x)=x имеет ед-е реш-е x*. . ЧТД,

Применение принципа сжим. отобр-й к решению линейных алг-х систем.

Рассм. сист. (1).Введем отображ-е Проверим усл-е сжатия:1) .(2). 2),(3). 3) .

Нер-во Коши-Буняковского:

(4).

Теорема.Если константа q<1, где q вычисляется по одной из ф-л (2),(3),(4), то система (1) имеет единств-е реш-е х*, кот. начиная с любого вектора, то можно решать методом посл-х приближений.

Решение интегральных уравнений Фредгольма.

Интегр-м ур-м Фредгольма 2го рода н-ся ур-е вида (1), здесь , ядроK(t,s) и f(t) – заданные ф-ции, ,x(t) – неизвестная ф-ция.

1. Пусть и ядроK(t,s) – непрер. ф-ция по совокупн-ти переменных 1е усл-е выполн-ся. Замкнутость эквив-на полноте пр-ва. Проверим усл-е сжатия.-(2). Т.о. ур-е Фредгольма при малых однозначно разрешимо.

2. Пусть . Пустьи.. Если, то. Можно показать, чтоy(t) измерима (как интеграл от измер-й). Надо показать, что она интегрир-ма с квадратом. Получим усл-е сжатия.-(3)

Теорема.Если q<1, где q – вычисл-ся по одной из ф-л (2) или (3), то ур-е (1) имеет единств-е реш-е. Это реш-е м.б. получено мет. посл. приближений. . Начиная сусл-е (2), либо сусл-е (3).

Решение интегральных уравнений Вольтера.

(1). Ур-е вольтера – частный случай ур-я Фредгольма. Покажем, что ур-е Вольтера разрешимо при любых знач-х .K(t,s), f(t) – непрер., .. Очевидно, чтонормы эквив-ны. Обозначимпр-во непрер. ф-ций с нормой. Рассм.Можно показать, что. Проверим усл-е сжатия:Поскольку нер-во вып-ся вседа, то ур-е Вольтера всегда разрешимл и его м. решать методом посл. приближений.