1.Нер-во Гёльдера и Минковского для сумм и интегралов.

Нер-во Минковского для суммы: , справедливо, если ряды справа сх-ся.

2. Метрич. Пр-ва и нормир-е пр-ва. Опр. Пр. Бесконечномер. Пр-ва.

Мн-во Х н-ся метрич. пр-вом (МП), если опред-но число, называемоеметрикой, расстоянием такое, что 1. 2.3..Пр-во Х не обязано быть линейным.

Пусть Х – линейное пр-во (м. склад-ть числа или умнож-ть на число)

Лин. пр-во н-ся нормированным (НП), если опред-но вещ-е число, наз-енормой так, что выполнены аксиомы: 1. 2.3..

Примеры нормированных пространств:

1. ,

2.

3. -пр-во с элементами таких, что рядс нормой. Д-во: .. 1я и 2я аксиомы очевидны, 3я следует из нер-ва Минковского для суммы:, справедливо, если ряды справа сх-ся.ЧТД

4. m – пр-во ограниченных числовых послед-тей таких, что сущ-т:,Д-во: Покажем, что m-ЛП. .Если, то,, т.е.m – ЛП. 1я и 2я аксиомы очевидны Значит это спр-во и дляsup, т.е. ЧТД

Замечание: - бесконечномерные координатные пр-ва.

Пр-во н-ся бесконечномерным, если в нем - линейно-независимых элементов.

5. - пр. непрерывных наф-ций с нормойД-во: -НП? 1я и 2я акс-ы очевидны. Проверим нер-во треугольника=> нер-во спр-во для максимума. ЧТД

6. - пр-во непрерывных на [a,b] ф-ций с нормой Д-во: Нер-во треуг-ка есть в точности нер-во Минковского для интегралов: спр-ва в случае сх-ти интегралов справа.

7. -пр-во к-раз непрер-но диф-х на [a,b] ф-ций с нормой или. Эти нормы эквив-ны.!!! Последние 3 пр-ва явл-ся бесконечномерными функцион-ми пр-вами.

3. Сх-ть в нормир. Пр-вах. Св-ва сх. Посл-тей. Сх-ть в конкретн-х пр-вах.

Сходимость НП.

Пусть Х-НП. Посл-ть н-сясход-ся к ,если т.е.

Утверждение. Если , то 1) Предел единственен 2) Всякая подпосл-ть посл-тисх-ся к3) норма(из обратного нер-ва треуг-ка).

Утв.1. Из сх-ти в пр-ве вытекает покоордин-я сх-ть. Обратное неверно.Д-во: Пусть это значит,. Обратное неверно. Возьмем. Покоординатно стрем-ся к 0. Пусть р=1,

Утв.2. Сх-ть в пр-ве m эквив-на покоордин-й сх-ти равномерной, относит-но номера координаты. Д-во: (!) (*)равном-но по k. Из (*) => (!) ЧТД.

Утв.3. Сх-ть в пр-ве эквив-на равном. сх-ти.Д-во: т.е.(1) (2) (3). Обратное: Из (3) => (2) и значит (1). ЧТД.

4.Ф.П. Полные пр-ва. Неполные.

Х-НП. ПОсл-ть н-сяфундам-й (фп), если Всякая ф.п. ограничена. Всякая сх-ся посл-ть явл-ся ф.п.

НП н-ся полным, если в нем любая ф.п. посл-ть сх-ся. Полное НП н-ся банаховым.

Правило. Д-во полноты состоит из 3х этапов: 1) берется произв-я ф.п. и строится элементx₀ – подозрит-й на предельный. 2) Провер-ся, что 3) Показывается, что

Теорема. Пр-во полно.Д-во: 1. - произв. ф.п., т.е. выполнен Кр. Коши равном. сх-ти посл-ти, т.е.. 2.- непрер. ф-я, как равномер. предел посл-ти непрер. ф-ций. 3. Т.к. сх-ть вэквив-на равном-й сх-ти, тоЧТД.

Теорема. Пр-во полно.Д-во: . Пусть- произв. ф.п. в.(1) . Для кажд. координаты выполняется Кр.Коши. Построим. Покажем, что(2) при(3). Имеем , т.е.. Из (3) => в силу произвольности М, т.е.. ЧТД.

Теорема.Пр-во полно.Д-во: Пусть- произв. ф.п. в.(1) . Для кажд. координаты выполняется Кр.Коши. Построим. Покажем, что(2) при(3). Имеем, т.е.. Из (3) => в силу произвольности М, т.е.. ЧТД,

Теорема.Пр-во m полно. Д-во: Пусть - произв. ф.п.- подпосл-ть,- ф.п.(4) по Кр. Коши сход. числ. посл. для кажд. координаты . Рассм.,Перейдем в (4) к пределу.(5) ,а из (5) => . ЧТД,

: . Оно неполно.

Теорема.не полно. Д-во: [a,b]->[-1,1] и рассм. посл-ть Покажем, что- ф.п. в . Заметим, что для некот.. Пустьm<n => - послед. фундам. сх-ся к ф-ции . Имеемсх-ся в интегральном смысле. Покажем, чтонесходится ни к какой ф-ции в . ПП Сущ-т непрерыв. , что, тогда имеем. Т.к.n отсутствует => ,-разрывн.-непрер..,- противоречие того, чтоявл-ся непрер-йне сх-ся в. ЧТД.

Теорема.Пр-во неполно.Д-во: [a,b]->[-1,1] и рассм. посл-ть Покажем, что- ф.п. в., т.е.

Пусть m<n => - послед. фундам. сх-ся к ф-ции . Имеемсх-ся в интегральном смысле.,. Покажем, чтонесходится ни к какой ф-ции в. ПП Сущ-т непрерыв. , что, тогда имеем.Т.к.n отсутствует => ,-разрывн.-непрер..,- противоречие того, чтоявл-ся непрер-йне сх-ся в. ЧТД,