Часть 2.

Пример 21. Найти частные производные функции .

Решение.

Чтобы найти частную производную , надо продифферецировать функцию по х, считая постоянной. Получим: .

Вычисляя , следует принять величину постоянной.

Получим: .

Ответ: ; .

Пример 22. Написать уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением : , в точке .

Решение.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением : , в точке имеет следующий вид:

.

Обозначив через левую часть уравнения, найдем частные производные и их значения в точке :

; , ;

; , .

Подставив частные производные и координаты точки в уравнение касательной плоскости, получим: . .

Ответ: .

Пример 23. Найти градиент функции в точке и его модуль.

Решение.

Вычислим частные производные функции в точке :

; ; .

Следовательно и .

Ответ: ; .

Пример 24.

Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

Найдем частные производные первого порядка:

; .

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума

( и ), найдем стационарные точки: ,

откуда , . Стационарная точка - .

Проверим выполнение достаточного условия экстремума.

Найдем значения частных производных второго порядка в точке :

; ; .

Тогда . достаточное условие экстремума выполняется. точка является точкой экстремума. Так как , то в этой точке функция принимает минимальное значение. Подставив координаты точки в , получим .

Ответ:. .

Пример 25.

Фирма производит товар двух видов в количествах x и y. Функция полных издержек определена соотношением C(x, y)=2x²+6xy+5y²+120. Цены этих товаров на рынке равны P₁=68 и P₂ =110. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль и найти эту прибыль.

Решение.

Функция прибыли имеет вид:

I(x; y)=P₁ x+P₂ y C(x;y)=68x+110y2x ²6xy5y²120.

Найдем максимум этой функции. Вычислим частные производные первого порядка: =684x6y; =1106x10y и приравняем их нулю. Решив систему, получим стационарную точку x=5, y=8.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума.

A= =4, B= =6, C= =10, D=4036>0, A<0. Следовательно, при объемах выпуска x=5, y=8 достигается максимальная прибыль, равная I(5, 8)=290.

Ответ: x=5, y=8, I_max=290.

Пример 26.

Фирма производит товар двух видов в количествах x и y. Функция полных издержек определена соотношением C(x, y)=2x+3y+100. Цены этих товаров на рынке равны P₁(x)=22x и P₂(y)=27y. Определить, при каких объемах выпуска достигается максимальная прибыль на множестве производственных возможностей, ограниченном издержками производства в объеме C₀=130. Найти эту прибыль.

Р ешение.

Функция прибыли имеет вид:

I(x, y)=P₁ x+P₂ y C(x, y)= =x(22 x)+y(27 y)2x3y100.

Надо найти максимум этой функции для неотрицательных x и y, удовлетворяющих условию C(x, y) C_0., т.е. в области, заданной неравенствами:

(На рис. эта область заштрихована).

1). Исследуем на экстремум функцию прибыли I(x, y).

Выделив полные квадраты по x и y , приведем функцию к виду: I(x, y)= (x10)² (y12)²+144. Максимальная прибыль без учета ограничения C(x, y) C₀ достигается в т. Е(10; 12) и равна 144. Полные издержки при таких объемах выпуска больше чем C₀ , поэтому точка E не принадлежит множеству производственных возможностей.

2). Исследуем функцию прибыли I(x, y) на экстремум на границе множества производственных возможностей. Для определения координат экстремальной точки составим функцию Лагранжа L ( x, y, λ )=I(x, y)+λ (C(x, y) C₀ ) и приравняем нулю ее

частные производные. Получим систему уравнений .

Решив систему, найдем экстремальную точку D(6; 6). Подставим координаты этой точки в функцию прибыли, и найдем максимальную прибыль

I(6, 6)= (610)²  (612)² + 144 = 92.

Максимум прибыли достигается на границе множества производственных возможностей в точке D. В этой точке линия уровня функции прибыли (окружность с центром в точке E ) касается изокосты C(x, y)=C₀ (отрезка АВ).

Ответ: I_max= I(6; 6) = 92.

Пример 27.1. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 27.2. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 27.3. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 28.1. Найти неопределенный интеграл .

Решение. .

Пример 28.2. Найти неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 29. Вычислите неопределенный интеграл .

Решение.

.

Пример 30. Вычислите определенный интеграл .

Решение.

.

Пример 31. Изобразите на плоскости область, ограниченную графиками функций и и найдите её площадь.

Р ешение. Построив графики указанных функций, определим, что парабола является верхней, а парабола – нижней границей области (на рисунке область заштрихована). Эти границы пересекаются при , и , поэтому область проецируется на отрезок . Следовательно, .

Ответ: кв. ед.

Пример 32. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

Решение.

.

Ответ: .

Пример 33. Исследовать ряд на сходимость.

Решение.

Проверим, выполнен или нет необходимый признак сходимости (если , то ряд расходится). Общий член ряда . . Необходимый признак сходимости ( ) не выполняется, следовательно ряд расходится.

Ответ: расходится.

Пример 34.

Исследовать ряд на сходимость, используя признак Даламбера.

Решение.

Для определения сходимости надо найти .

; . , следовательно ряд сходится.

Ответ: сходится.

Пример 35. Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение с разделяющимися переменными . Разделив обе части уравнения на , получим уравнение с разделенными переменными . Проинтегрируем обе части уравнения

.

Ответ: .

Пример 36. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее заданному начальному условию .

Решение. Заданное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем сначала его общее решение. Для этого разделим переменные . Разделим обе части уравнения на . Получим . Проинтегрируем обе части уравнения . Для нахождения частного решения подставим в общее решение заданное начальное условие , . Получим . Отсюда . Подставляя найденное в общее решение, получим , которое является частным решением заданного уравнения, удовлетворяющим начальному условию .

Ответ: .

Пример 37. Решить уравнение .

Решение. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение перового порядка. Решим его методом Бернулли, т.е. решение будем искать в виде произведения двух функций , где , - функции от . Найдем . Подставим эти и в заданное уравнение. Получим . Сгруппируем второе и третье слагаемые в левой части, вынеся за скобки: .

Выберем так, чтобы коэффициент при в уравнении (1) обратился в ноль, т.е. и найдем какое-нибудь отличное от нуля его частное решение . При найденном таким образом уравнение примет вид: . Тогда для нахождения решения необходимо решить систему двух дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

Сначала решаем первое уравнение системы . Разделим Переменные . Так как требуется найти какое-нибудь отличное от нуля частное решение, то предположим, что и проинтегрируем обе части: . Получим , откуда . Подставим найденное во второе уравнение системы. Получим . Отсюда . Интегрируя обе части последнего уравнения, получим , откуда . Подставляя найденные и в , получим общее решение заданного дифференциального уравнения .

Ответ: .

Пример 38. Решить уравнение .

Решение.

Это уравнение второго порядка вида . Его общее решение находится последовательным интегрированием два раза: ; .

Ответ: .

Пример 39.1. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Найдем сначала его общее решение. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение и найдем его корни , . Так как эти корни действительные и различные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид , т.е. .

2) Для нахождения частного решения вычислим . Подставим в выражения для и заданные начальные условия. Получим систему .

Решив её, найдем ; . Подставляя найденные и в общее решение, получим частное решение .

Ответ: .

Пример 39.2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Найдем сначала его общее решение. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение и найдем его корни . Так как эти корни действительные и кратные, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид .

2) Для нахождения частного решения вычислим и подставим в выражения для и заданные начальные условия. Получим систему .

Подставляя найденные и в общее решение, получим частное решение .

Ответ: .

Пример 39.3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям ; .

Решение.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

1) Найдем сначала его общее решение. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение . Его корни комплексно сопряженные .

Для комплексно сопряженных корней вида

общее решение дифференциального уравнения имеет вид . Так как в нашем случае действительная часть , а мнимая , то

2) Для нахождения частного решения вычислим . Подставляя в выражения для и заданные начальные условия, получим систему .

Подставляя найденные и в общее решение, получим частное решение .

Ответ: .

Пример 40.1. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью вида , где , .

1) Найдем сначала общее решение однородного уравнения , соответствующего заданному неоднородному. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение и найдем его корни . Так как они действительные и кратные, то общее решение однородного уравнения имеет вид .

2) Найдем какое-нибудь частное решение заданного неоднородного уравнения. Так как число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде , где - некоторое число, которое необходимо найти. Для этого вычислим и . Подставим , и в заданное неоднородное уравнение и так как должно быть его решением, получим верное равенство . Разделив обе части уравнения на и приведя подобные, получим , т.е. .

3) Общее решение неоднородного уравнения имеет вид .

Ответ: .

Пример 40.2. Найти общее решение уравнения .

Решение.

Это неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и со специальной правой частью вида ,

, т.е. , .

1) Найдем сначала общее решение Однородного уравнения , соответствующего заданному неоднородному. Для этого составим соответствующее ему характеристическое уравнение и найдем его корни ; . Так как они действительные и различные, то общее решение однородного уравнения имеет вид .

2) Найдем какое-нибудь частное решение заданного неоднородного уравнения. Так как в его правой части стоит многочлен второго порядка и число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде полного многочлена второго порядка, с неопределенными коэффициентами, т.е. в виде .

Для нахождения коэффициентов ; ; найдем и . Так как является решением неоднородного уравнения, то при подстановке и его производных и в заданное неоднородное уравнение получим верное равенство .

Приведя в левой части подобные члены и записав многочлен в стандартном виде, получим . Так как многочлены, стоящие в левой и правой частях тождественно равны, то приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях в левой и правой частях, получим систему для нахождения коэффициентов ; ; :

Подставив найденные коэффициенты , , , в

получим .

3) Общее решение неоднородного уравнения имеет вид .

Ответ: .