25. Что показывает коэффициент регрессии aj в модели множественной регрессии?

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Y_i = α₀ + α₁x_i1 + α₂x_i2 + ... + α _mx_im + ε_i (4.1)

Коэффициент регрессии α_j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную x_j увеличить на единицу измерения, т.е. α_j является нормативным коэффициентом. Обычно предполагается, что случайная величина ε_i имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием равным нулю и с дисперсией σ².

26. Соотношение между числом наблюдений и числом оцениваемых параметров при построении множественной регрессионной модели.

Экспериментальный метод осуществляется путем сравнения величины остаточной дисперсии D_ост, рассчитанной при разных моделях. Если фактические значения результативного признака совпадают с теоретическими у = , то D_ocm =0. Если имеют место отклонения фактических данных от теоретических (у — ) то .

Чем меньше величина остаточной дисперсии, тем лучше уравнение регрессии подходит к исходным данным. Число наблюдений должно в 6 — 7 раз превышать число рассчитывае­мых параметров при переменной х.

27. Матричная форма записи множественного регрессионного уравнения и оценка параметров модели.

Линейная модель множественной регрессии имеет вид:

Y_i = α₀ + α₁x_i1 + α₂x_i2 + ... + α _mx_im + ε_i (4.1)

Анализ уравнения (4.1) и методика определения параметров становятся более наглядными, а расчетные процедуры существенно упрощаются, если воспользоваться матричной формой записи уравнения (4.2):

Y = X α + ε (4.2)

где Y — вектор зависимой переменной размерности n×1, представляющий собой n наблюдений значений y_j,

X — матрица n наблюдений независимых переменных Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_m, размерность матрицы X равна n×(m+1);

α — подлежащий оцениванию вектор неизвестных параметров размерности (m+1) ×1;

ε — вектор случайных отклонений (возмущений) размерности n×1.

Таким образом,

Уравнение (4.1) содержит значения неизвестных параметров α₀, α₁, α₂, ..., α_m. Эти величины оцениваются на основе выборочных наблюдений, поэтому полученные расчетные показатели не являются истинными, а представляют собой лишь их статистические оценки. Модель линейной регрессии, в которой вместо истинных значений параметров подставлены их оценки (а именно такие регрессии и применяются на практике), имеет вид:

, (4.3)

где α — вектор оценок параметров;

е — вектор «оцененных» отклонений регрессии, остатки регрессии ε = Y - X α;

 — оценка значений Y, равная Ха.

Оценка параметров модели множественной регрессии с помощью метода наименьших квадратов.

Формулу для вычисления параметров регрессионного уравнения приведем без вывода:

а = (Х^ТХ)^-1X^TY. (4.4)

28. Система нормальных уравнений для двухфакторной регрессионной модели.

Система нормальных уравнений для двухфакторной регрессионной модели имеет вид:

29. Схемы отбора факторов для модели Существуют две схемы отбора факторов для модели: метод включения

– дополнительное введение фактора и метод исключения – отсев факторов из

полного его набора.

Первая схема (также первая схема – это 49 вопрос – метод включения факторов при формировании МРМ): признак Xj включается в уравнение в том случае, если

его включение существенно увеличивает значение множественного

коэффициента корреляции, рассчитываемого по формуле

где r – определитель корреляционной матрицы r (см. формулу 2.3.12), а jj R

– алгебраическое дополнение элемента jj r той же матрицы r .

Так как значение множественного коэффициента корреляции зависит от

количества включаемых в модель аргументов j X , то при расчетах

необходимо использовать скорректированный множественный коэффициент

корреляции

Этот коэффициент также необходимо проверить на значимость с

помощью F -критерия Фишера

F сравнивается с табличным F

Если F > Fтабл , то проверяемый множественный коэффициент

корреляции значим.

Вторая схема (также вторая схема – это 50 вопрос – метод исключения факторов при формировании МРМ) пошаговой регрессии основана на последовательном исключении факторов с помощью t -критерия Стьюдента. Она заключается в том, что после построения уравнения регрессии и оценки значимости всех коэффициентов регрессии из модели исключается тот фактор, коэффициент при котором незначим и имеет наименьшее значение t -критерия. После этого получают новое уравнение множественной регрессии и снова производят оценку значимости всех оставшихся коэффициентов. Если среди них окажутся незначимые, то опять исключают фактор с наименьшим значением t -критерия. Процесс исключения факторов останавливается на том шаге, когда все регрессионные коэффициенты становятся значимыми.

Расчётный t -критерий Стьюдента определяют по формуле