30. Проверка качества построенной множественной регрессионной модели: коэффициент детерминации, множественный коэффициент корреляции, относительная ошибка аппроксимации.

Качество модели регрессии связывают с адекватностью модели наблюдаемым (эмпирическим) данным. Проверка адекватности (или соответствия) модели регрессии наблюдаемым данным проводится на основе анализа остатков. Анализ остатков позволяет получить представление, насколько хорошо подобрана сама модель и насколько правильно выбран метод оценки коэффициентов. Согласно общим предположениям регрессионного анализа, остатки должны вести себя как независимые (в действительности, почти независимые) одинаково распределенные случайные величины.

Качество модели регрессии оценивается по следующим направлениям:

1.проверка качества всего уравнения регрессии;

2.проверка значимости всего уравнения регрессии;

3.проверка статистической значимости коэффициентов уравнения регрессии;

4.проверка выполнения предпосылок МНК.

При анализе качества модели регрессии, в первую очередь, используется коэффициент детерминации, который определяется следующим образом:

= 1-

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых факторов, т. е. определяет, какая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влиянием на него факторов. Чем ближе к 1, тем выше качество модели. Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также использовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R. Данный коэффициент является универсальным, так как он отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. Важным моментом является проверка значимости построенного уравнения в целом и отдельных параметров. Оценить значимость уравнения регрессии – это означает установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между Y и Х, фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных Х для описания зависимой переменной Y. Оценка значимости уравнения регрессии производится для того, чтобы узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования (например, для прогноза) или нет.

Коэффициент множественной корреляции R.

Обычно, степень зависимости двух или более предикторов (независимых переменных или переменных X) с зависимой переменной (Y) выражается с помощью коэффициента множественной корреляции R. По определению он равен корню квадратному из коэффициента детерминации. Это неотрицательная величина, принимающая значения между 0 и 1. Для интерпретации направления связи между переменными смотрят на знаки (плюс или минус) регрессионных коэффициентов или B-коэффициентов. Если B-коэффициент положителен, то связь этой переменной с зависимой переменной положительна (например, чем больше IQ, тем выше средний показатель успеваемости оценки); если B-коэффициент отрицателен, то и связь носит отрицательный характер (например, чем меньше число учащихся в классе, тем выше средние оценки по тестам). Конечно, если B-коэффициент равен 0, связь между переменными отсутствует.

Ошибка аппроксимации. Фактическое значение результативного признака y отличается от теоретических значений , рассчитанных по уравнению регрессии. Чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим, и лучше качество модели. Величина отклонений фактических и расчетных значений результативного признака по каждому наблюдению представляет собой ошибку аппроксимации. Поскольку Y- может быть как величиной положительной, так и отрицательной, то ошибки аппроксимации для каждого наблюдения принято определять в процентах по модулю. Отклонения можно рассматривать как абсолютную ошибку аппроксимации, а * 100% - как относительную ошибку аппроксимации. Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению определяют среднюю ошибку аппроксимации: . Возможно и иное определение средней ошибки аппроксимации . Если А£10-12%, то можно говорить о хорошем качестве модели.