Глава 14. Двойной интеграл

1. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат

а)

б)

Задача.

Пусть . Тогда область интегрирования данного интеграла имеет вид…

Варианты ответов: 1) прямоугольной трапеции 2) произвольной трапеции 3) треугольника 4) равнобокой трапеции

Решение.

Построим фигуру, ограниченную линиями , , ,

Область интегрирования данного интеграла имеет вид треугольника.

Ответ. №3.

Задача.

Вычислить , где область - прямоугольник

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4) 4

Р ешение.

Область - прямоугольник, изображенный на рисунке.

.

Ответ. №5.

2. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат

Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид или область есть круг, кольцо или часть таковых

Задача.

Дан интеграл , где - кольцо . Тогда повторный интеграл в полярной системе координат по этой области примет вид…

Варианты ответов: 1)

2) 3)

4)

Решение.

Так как ,

,

,

, то кольцо

в полярной системе координат будет иметь вид , , .

Тогда

т.е.

Ответ. №4.

3. Приложения двойного интеграла

Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат

Объем тела

,

где - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Масса плоской фигуры

,

где - плотность

Задача.

Площадь области, ограниченная линиями , , , , вычисляется как повторный интеграл…

Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)

Решение.

Построим фигуру, ограниченную данными линиями.

Ответ. №3.

Кривая задана уравнением

1. Вычисление криволинейного интеграла I рода в декартовой системе координат

,

,

2. Вычисление криволинейного интеграла I рода в полярной системе координат

,

3. Вычисление криволинейного интеграла I рода в параметрическом виде

, ,

4. Вычисление криволинейного интеграла II рода в декартовой системе координат

,

,

5. Вычисление криволинейного интеграла II рода в параметрическом виде

, ,

6. Формула Грина

Если функции и непрерывны вместе со своими частными производными и в области D, то

,

где - граница области D и интегрирование вдоль кривой производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой область D остается слева).

7. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Пусть А и В – произвольные точки области D,

и - два произвольных пути, соединяющих эти точки.

Тогда следующие условия равносильны:

1) (условие Грина).

2) (криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования).

3) (выражение представляет собой полный дифференциал некоторой функции )

4) (криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен 0).

8. Связь между криволинейными интегралами I и II рода

9. Приложения криволинейного интеграла

Первого рода

Второго рода

Длина кривой

Работа под воздействием силы на криволинейном участке

Масса кривой с плотностью

Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией

Задача.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру равен…

Варианты ответов: 1) 2 2) 0 3) 4 4) 5

Решение.

;

Значит, .

Ответ. №2.