Законы излучения абсолютно чёрного тела

Распределение спектральной плотности интенсивности полусферического излучения идеального излучателя (абсолютно чёрного тела – а.ч.т) E_0 по спектру определяется законом Планка:

Вт/м³, (3.5)

в котором константы С₁ = 3,7310^-16 Втм² и С₂ = 1,67310^-2 мК.

Графически эта зависимость представлена на рис. 3.3, из анализа которого следует, что величина E_0 существенно зависит от температуры и длины волны. Далее чётко просматривается смещение максимума излучения в сторону коротких волн при повышении температуры. Эта закономерность впервые была установлена Вином, поэтому её математическое отображение носит его имя:

_maxT = 2,898 ммК. (3.6)

Э то выражение легко получить, продифференцировав (3.5) по  и приравняв производную нулю, как это всегда делается при поиске экстремума. Важно отметить, что закон Вина имеет большое практическое значение, так как позволяет по длине волны, соответствующей максимуму спектральной плотности интенсивности излучения, определить температуру тела. Именно на этом принципе основана работа оптических пирометров.

Рис. 3.3. Спектральная плотность интенсивности излучения. Температура тела (сверху вниз), К: 3000, 2500, 2000, 1800, 1600, 1400

Для получение интегральных характеристик излучения закон Планка необходимо проинтегрировать по спектру длин волн. Если интегрирование по  выполнить в пределах от 0 до , то получим плотность потока полусферического излучения E₀:

Вт/м², (3.7)

где ₀ – постоянная Стефана – Больцмана, ₀ = 6,4943,7310^-16/(1,67310^-2)⁴ = = 5,6710^-8 Вт/(м²К⁴).

Полученный закон назван законом Стефана – Больцмана. Для практических расчётов применяют модифицированную форму записи этого закона

Вт/м². (3.8)

Здесь С₀ – коэффициент излучения абсолютно чёрного тела, равный 5,67 Вт/(м²К⁴).

К числу основных законом теплового излучения относят также и закон Ламберта (закон косинусов), который отражает распределение потоков излучения по всем направлениям в пределах полусферы. В соответствии с определением интенсивности излучения (рис. 3.2) для абсолютно чёрного тела

(3.9)

легко убедиться, что эта величина изменяется пропорционально косинусу угла  между нормалью к площадке dF и направлением излучения.

В нормальном к площадке направлении I₀ достигает максимального значения и уменьшается по мере увеличения угла . Аналогичным образом изменяется также в зависимости от направления и видимая величина излучающей поверхности, т.е. проекции излучающей площадки dF_n на плоскость, перпендикулярную направлению излучения:

dF_n = dFcos. (3.10)

Однако отношение этих величин, т.е. удельный тепловой поток с единицы нормальной к направлению излучения поверхности dF_n в единице телесного угла, или калорическая яркость излучения

(3.11)

остаётся постоянной и не зависящей от направления.

Именно указанная особенность углового распределения излучения абсолютно чёрного тела и известна в физике под названием закона Ламберта, согласно которому калорическая яркость излучения а.ч.т. во всех направлениях одинакова:

b₀() = idem. (3.12)

Для монохроматического излучения

b_,0() = idem. (3.13)

Подставляя в формулу (3.11) значение dF_n из соотношения (3.10), можно написать для интегрального излучения:

dE₀() = b₀ d dF cos. (3.14)

Для монохроматического излучения:

dE_,0 = b_,0 d dF cos d. (3.15)

Элементарный лучистый поток, посылаемый в данном направлении площадкой dF в телесном угле d, пропорционален величине телесного угла d, площади излучающего элемента dF и косинусу угла  между направлением излучения и нормалью к излучающей площадке. Множителем пропорциональности, постоянным для всех значений угла , является калорическая яркость излучения (b₀; b_,0).

Полусферическое излучение абсолютно чёрной площадки можно определить, проинтегрировав уравнения (3.14) и (3.15) в телесном угле 2. Тогда полусферический лучистый поток полного излучения, посылаемый площадкой dF в полупространство, составит

(3.16)

Учитывая, что калорическая яркость абсолютно чёрного тела не зависит от направления, перепишем уравнение (3.16) в виде:

(3.17)

или

(3.18)

Для вычисления воспользуемся выражением (3.2)

где _ = rd, а _ = r sin d. Здесь d - центральный угол площадки dF₂ по нормали к плоскости рис. 3.2. Отсюда d = sin d d и

(3.19)

Таким образом,

(3.20)

где E₀, как и ранее, энергия полусферического излучения абсолютно чёрного тела [закон Стефана – Больцмана (3.8)]. Иными словами, закон Ламберта в развёрнутой форме имеет вид

(3.21)

Излучение в нормальном направлении

(3.22)

Напомним ещё раз, что закономерности излучения идеальных тел и сред используются в качестве эталонов для определения законов излучения реальных тел.