4.4. Интегральное уравнение теплового пограничного слоя

В ряде случаев решение уравнения теплового пограничного слоя можно ещё более упростить, если отвлечься от второстепенных деталей температурного поля среды и перейти к анализу его интегральных характеристик. Для иллюстрации такого перехода преобразуем уравнение (4.11), полагая, простоты ради, удельную теплоёмкость c_p и плотность  газа (жидкости) постоянными.

Объединим уравнение теплового пограничного слоя с уравнением баланса массы, замечая, что

так как согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости u/x + + v/y =0. Тогда вместо (4.11) можно записать

(4.13)

Проинтегрируем уравнение (4.13) по толщине пограничного слоя в пределах 0  y  h, где h – величина большая или равная максимальной из толщин пограничного слоя (динамического  или теплового ):

(4.14)

Правая часть этого соотношения легко интегрируется:

(4.15)

Температура жидкости монотонно приближается к температуре ядра потока, поэтому на внешней границе пограничного слоя (t/y)_y=h = 0. С другой стороны, выражение (t/y)_y=0 определяет плотность теплового потока на стенке q_с. Следовательно,

(4.15,а)

Рассмотрим последнее слагаемое левой части уравнения (4.14). Оно также легко интегрируется

(4.16)

так как при y = 0 v =0, а при y = h v = v_h и t = t_ж. Для отыскания значения компонента скорости v на внешней границе динамического пограничного слоя воспользуемся уравнением неразрывности u/x + v/y =0. Отсюда

и вместо (4.16) можно записать

(4.16,а)

поскольку t_ж не зависит ни от x, ни от y. Объединяя этот результат со вторым слагаемым левой части выражения (4.14) и изменяя порядок интегрирования и дифференцирования, что возможно, так как переменные x и y не зависят друг от друга, находим

(4.17)

Первое слагаемое левой части (4.14) перепишем, замечая, что t_ж = const и t/ = = (t – t_ж)/, в виде

Собирая воедино все полученные результаты, вместо уравнения (4.14) окончательно имеем

(4.18)

Уравнение (4.18) и его обобщения впервые получены Г.Н. Кружилиным и носят его имя.

Для стационарного процесса конвективного теплообмена уравнение (4.18) упрощается и принимает вид

(4.19)

или

(4.19,а)

если q_с = const. Постоянная интегрирования находится по параметрам потока на входе в систему (при x = 0). Например, если на входе в канал во всех точках поперечного сечения скорость U и температура t₀ были одинаковыми, то const = U(t₀ –  t_ж)h. Интересно отметить также, что для теплоизолированной стенки величина сохраняется вдоль потока.

Обычно практика использования уравнений типа (4.19) состоит в задании скорости u и температуры t в виде полиномов, степень и коэффициенты которых выбирают, исходя из требования удовлетворить как можно большему числу граничных условий. Конкретные примеры такой методики будут рассмотрены позже.

Мы не будем здесь рассматривать хорошо известные вопросы о выявлении определяемых и определяющих чисел подобия, вытекающих из соответствующей теории подобия, о теоремах подобия, о принципах моделирования процессов теплообмена на установках и т.п. Рассмотрим лишь методы решения задач.