2.5. Эмпирические соотношения для g

В этом параграфе весьма кратко мы покажем, как с помощью экспериментальных данных можно получить соотношения для величины g. Здесь необходимо исходить из следующих положений:

1. Сила на единицу объёма g не зависит от системы отсчёта, т.е. инвариантна к системе координат, поэтому должно выполняться равенство

(2.41)

Здесь Q может зависеть от времени и быть ортогональным тензором второго ранга.

2. Любое эмпирическое соотношение для g должно удовлетворять принципу независимости материала (свойств материала) от системы отсчёта.

3. Вследствие отсутствия уравнений связи для g (математического описания) эмпирические соотношения строятся на основе теории размерностей (-теорема Бэкингема).

4. Поверхность усреднения S достаточно велика, чтобы можно было предположить, что g не является явной функцией положения в пористой структуре, хотя она вполне может быть неявной функцией положения в результате зависимости её от других величин.

Пример 1. Течение ньютоновской жидкости через неориентированную (однородную) среду.

Предположим, что g – функция разности локальной средней скорости жидкости и локальной средней скорости твёрдого тела (материала)

(2.42)

В этом выражении подразумевается также функциональная зависимость от нескольких скаляров, таких как порозность слоя, характерный диаметр частицы слоя (характерный размер поры), вязкость жидкости и т.п. Пусть

(2.43)

С учётом принципа независимости материала от системы отсчёта функциональная зависимость между этими величинами должна быть одной и той же в любой системе отсчёта. Это означает, что

(2.44)

где g – изотропная функция;

(2.45)

Согласно теореме представления для изотропной векторной функции от одного векторного аргумента можно записать:

(2.46)

При этом подразумевается, что коэффициент сопротивления R есть функция локальной усреднённой скорости жидкости относительно локальной усреднённой скорости материала кроме того, он является функцией вязкости жидкости , а также характерного размера частицы слоя d_э

R = R( , d_э). (2.47)

При этом плотность жидкости не учитывается, поскольку она не входит в локально усреднённое по объёму уравнение первого закона Коши, а также в локально усреднённое по объёму уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости. Согласно теореме Бэкингема уравнение (2.47) можно записать, используя постоянную безразмерную проницаемость слоя

(2.48)

Итак, уравнения (2.46) и (2.48) можно использовать для описания силы на единицу объёма, с которой действует несжимаемая ньютоновская жидкость на неориентированную пористую структуру (однородный слой), исключая гидростатическую силу и силы, связанные с давлением окружающей среды. Заметим, что размерность правой части (2.46) совпадает с размерностью градиента давления, поэтому в данном случае выражение (2.40) можно переписать в форме

(2.49)

В литературе (2.49) часто называют уравнением Бринкмана. Отметим также, что без второго слагаемого левой части выражение (2.49) по структуре совпадает с законом Дарси (2.3). Как показывает практика, этот закон хорошо работает при малых скоростях потока в слое, когда течение можно уверенно определить как ламинарное. При скоростях характерных для промышленных агрегатов более точные результаты даёт выражение

(2.50)

В (2.50)  - коэффициент формы куска, а сопротивление слоя рассчитывается по закону С. Эргана.