2.4. Локально усреднённое по объёму уравнение неразрывности и усреднение по объёму первого закона Коши
В § 2.2 мы установили, что локально усреднённое по объёму уравнение неразрывности можно записать в виде
Используя теорему § 2.3, можно записать его так
(2.22)
При
получении этого результата учитывалось,
что скорость движения жидкости равна
нулю на стенках поры Sw.
Конечно, неудобно, что здесь имеет место
среднее по объёму
а
не произведение средних по объёму
Для частного случая несжимаемой жидкости результат более простой:
(2.23)
Именно поэтому с несжимаемой жидкостью легче оперировать при рассмотрении течений в слое.
В приведённых выше преобразованиях имеется одна тонкость, которая не бросается в глаза, но которую обязательно нужно учитывать при разработке численных моделей процесса. Эта тонкость связана с определением теплофизических свойств параметров потока, усреднённого по объёму.
Рассмотрим ещё раз выражение (2.9), определяющее само понятие усреднённой по объёму величины.
Здесь переменная интегрирования изменяется от 0 до V(f), так как интегрирование ведётся по объёму жидкости в пустотах слоя. Поэтому, во-первых, в (2.9) dV необходимо заменить на dV(f) и, во-вторых, учесть то обстоятельство, что объём жидкости в пористой среде недоступен для анализа – известен лишь объём слоя V. Иными словами, при определении параметров однородной гипотетической жидкости, занимающей весь объём слоя, необходимо вместо (2.9) использовать выражение
(2.24)
Здесь = dV(f)/dV – порозность слоя.
Таким образом, уравнение неразрывности однородной гипотетической жидкости, эквивалентной по расходу реальному газу в слое, следует записывать в виде:
(2.22,а)
Перейдём к анализу первого закона Коши, определяющего уравнения сохранения количества движения (импульса). Можно начать, как в § 2.2, где мы сначала рассматривали локально усреднённое по объёму уравнение неразрывности. Выберем некоторую точку z в слое и проинтегрируем первый закон Коши по объёму V(f) области пространства, занятой жидкостью и ограниченной поверхностью S, связанной с z:
(2.25)
Поменяем местами операции интегрирования по объёму и дифференцирования по времени в первом слагаемом подынтегрального выражения
(2.26)
Далее, используя теорему § 2.3, представим второе и третье слагаемые уравнения (2.25) как
(2.27)
и
(2.28)
При получении уравнения (2.27) учитывалось, что вектор скорости v должен быть равен нулю на границе раздела фаз твёрдое тело – жидкость Sw. С учётом уравнений (2.26) – (2.28) соотношение (2.25) принимает вид:
(2.29)
Преобразование (2.29) для однородной гипотетической среды мы рассмотрим позже, а сейчас ограничимся несжимаемой жидкостью и предположим, что всеми инерционными эффектами можно пренебречь в локальном усреднении по объёму первого закона Коши. Удобно предположить, что внешнюю силу на единицу массы f можно представить через скалярный потенциал :
f = . (2.30)
При этих ограничениях уравнение (2.29) упрощается:
(2.31)
или
(2.32)
Здесь P – модифицированное давление:
P = p + , (2.33)
а S – тензор дополнительного напряжения. Постоянное исходное или окружающее давление p0 вводится здесь для того, чтобы можно было определить
(2.34)
как силу на единицу объёма, с которой жидкость действует на стенки пустот (поры), заключённой внутри S, исключая гидростатические силы, а также все другие, возникающие за счёт давления окружающей среды. Эта сила g связана только с движением жидкости.
Для несжимаемой ньютоновской жидкости
(2.35)
Преобразование Грина из (2.3), а также то, что скорость жидкости на стенках поры равна нулю, позволяют утверждать, что
(2.36)
Точно такие же аргументы можно использовать, чтобы показать что
(2.37)
Следовательно,
(2.38)
и
(2.39)
Итак, если пренебречь всеми инерционными эффектами и предположить, что внешнюю силу на единицу массы можн представить градиентом скалярного потенциала, локально усреднённое по объёму уравнение первого закона Коши для несжимаемой ньютоновской жидкости можно записать в виде
(2.40)
В следующем параграфе мы рассмотрим эмпирические соотношения для g.