2.2. Локальное усреднение по объёму
Наша первоначальная цель – связать с каждой точкой слоя (пористой среды) локально усреднённое по объёму дифференциальное уравнение неразрывности:
(2.5)
Под словами "каждая точка слоя (пористой среды)" подразумевается твёрдая и жидкая фазы, а также область на границе раздела твёрдое тело – жидкость.
Рис. 2.1. Поверхность усреднения S, связанная с каждой точкой z в пористой среде
Сначала выберем некоторую точку z пористой среды, изображённой на рис. 2.1. Совершенно безразлично, локализована ли эта точка в твёрдой или жидкой фазе, или на поверхности раздела фаз, - всё равно вывод остаётся неизменным. Свяжем с этой точкой замкнутую поверхность S, ограничивающую объём V. Минимальный размер S мы обсудим позже. Можно считать, что эта точка лежит внутри S, но это совершенно несущественно.
Обозначим через V(f) поры, содержащие жидкость внутри S; объём и форма V(f) обычно будут изменяться от точки к точке слоя. Замкнутая ограничивающая поверхность S(f) для V(f) является суммой Se и Sw: Se соответствует S, а Sw стенкам поры. Модно считать Se входными и выходными поверхностями объёма V(f). Запишем уравнение баланса массы для жидкости, содержащейся внутри этой замкнутой поверхности S. Для этого удобнее всего проинтегрировать дифференциальное уравнение неразрывности (2.5) по области V(f), занятой жидкостью внутри S:
(2.6)
Можно сразу поменять местами операции интегрирования по объёму и дифференцирования по времени в первом слагаемом подынтегрального выражения в (2.6):
(2.7)
или
(2.8)
Если B – произвольный скаляр, вектор или тензор второго ранга, связанный с жидкостью, то
(2.9)
т.е.
есть локальное среднее по объёму V
величины
B,
связанной с жидкостью. Локальная
объёмно-усреднённая плотность, введённая
в уравнении (2.8) есть частный случай
использования этого определения.
Было бы прекрасно, если бы интегрирование по объёму можно было поменять местами с операцией дивергенции во втором слагаемом выражения (2.8). Но пределы интегрирования по объёму зависят от геометрии поры (пустоты), ограниченной поверхностью S, и должны зависеть от положения z. В следующем параграфе этот вопрос обсуждается более подробно.
2.3. Теорема о локальном среднем по объёму от градиента
Пусть B – скаляр, вектор или тензор второго ранга, связанный с жидкостью. Если
(2.10)
то представляет интерес выяснить, в каком случае можно поменять местами операцию усреднения по объёму и операцию градиента, чтобы получить
(2.11)
Свяжем поверхность усреднения S из § 2.2 с каждой точкой пористой среды. Сделаем это простым перемещением без вращения. Например, если поверхность S – элементарный шар, центр которой совпадает с точкой, рассматриваемой первоначально, то каждой точке слоя будет соответствовать элементарная сфера. Если значение S невелико по сравнению со средним диаметром поры (канала для прохода газов), то эта поверхность может заключать в себе только твёрдое тело или только жидкость во многих точках; в противном случае многие поры могут пересекать S, причём пересечения служат входом или выходом для жидкости, ограниченной поверхностью S.
Р
ис.
2.2. Вектор r0(s)
обозначает положение точки s
вдоль кривой; r
– положение на поверхности
S
(f
)
относительно точки s
Рассмотрим произвольную кривую, проходящую через пористую среду, как показано на рис. 2.2. Пусть s – параметр, являющийся длиной дуги, измеряемой вдоль этой кривой. Можно считать каждую точку вдоль этой кривой системой, обозначенной через V(f), состоящей из пор, заполненных жидкостью, которая ограничена поверхностью S. Можно представить V(f) как функцию параметра вдоль этой кривой. Если в обобщённой теореме переноса, которую мы выводили с вами ранее в одной из дисциплин, вместо времени использовать параметр s, то
(2.12)
Здесь p – поле радиус-вектора.
Ограничимся в дальнейшем такими значениями B, которые являются явными функциями только положения (и времени):
B/s = 0. (2.13)
Под B/s мы подразумеваем производную по s, полагая положение и время заданными. Фиктивные частицы системы движутся в зависимости от s по касательной к неподвижным стенкам поры на поверхности Sw:
на
поверхности Sw.
(2.14)
Пусть r0(s) – радиус-вектор, определяющий положение точки s на произвольной кривой, а r(s) – радиус-вектор, определяющий положение точки на поверхности S(f) относительно этой точки s (которая находится в центре шара для случая, показанного на рис. 2.2). При условии, что S перемещается без вращения вдоль этой произвольной кривой, которая связана с каждой точкой пористой среды, на поверхности Se имеем
(2.15)
Уравнения (2.13) – (2.15) позволяют переписать обобщённую теорему переноса в виде
(2.16)
или, поскольку dr0/ds не зависит от положения на поверхности Se,
(2.17)
Так как кривая, проходящая через пористую среду, была выбрана произвольно, то
(2.18)
Используя формулу Остроградского – Гаусса (преобразование Грина), перепишем уравнение (2.10)
(2.19)
С учетом (2.18) найдём
(2.20)
Полученный результат будем называть теоремой о среднем по объёму от градиента.
Частным случаем уравнения (2.20) является
(2.21)
Здесь B можно считать векторным полем или полем тензора второго ранга. Уравнение (2.21) можно назвать теоремой о среднем по объёму от дивергенции.