2. Локальное усреднение по объёму
В дисциплинах "Теплофизика" и "Тепломассообмен" бакалавриата и специалитета мы изучали разделы, посвящённые теплообмену в слое. Однако в этом изучении предполагалось одномерное (поршневое) движение газов и материалов. Более того, в качестве характеристики потока газов использовалась скорость фильтрации, т.е. скорость потока на "пустое" сечение агрегата.
Разработка комплексных математических моделей слоевых металлургических печей и агрегатов, в общем случае, сопряжена с большими трудностями. Прежде всего, это связано со сложностью математического описания движения потока газа в слое кусковых материалов. Использование известных уравнений Навье-Стокса в данном случае не представляется возможным из-за сложной конфигурации каналов для прохода газов, которая, к тому же, заранее неизвестна. С другой стороны, упомянутая выше методика перехода к фиктивным скоростям (скоростям фильтрации) применительно к условиям шахтных печей нельзя признать удовлетворительной, так как от параметров динамики газов (скорости, давления, температуры) зависит интенсивность протекания процессов тепло - и массообмена.
Проблема, таким образом, состоит в том, чтобы получить уравнения движения газа в слое, связывающие среднюю скорость газа в межкусковом пространстве (истинную скорость), его действительное давление и температуру. При этом, естественно, должны выполняться уравнения сохранения массы, количества движения и энергии. По-видимому, решение вышеуказанной проблемы должно быть основано на использовании параллели между течением газа в слое и движением гипотетической жидкости, занимающей весь объём аппарата, включая и объём кусковых материалов.
2.1. Течение в пористой среде
Слой кусковых материалов с находящимся в межкусковом пространстве газом представляет собой неоднородную среду. Однако можно уподобить его гипотетической однородной жидкости, динамические свойства которой те же, что и локальные усреднённые свойства действительной неоднородной среды. При таком подходе сложная проблема движения вязкого газа в межкусковом пространстве движущегося или неподвижного слоя может быть сведена к относительно простой проблеме движения однородной жидкости преодолевающей, однако, некоторое добавочное сопротивление.
Способы введения средних характеристик движения гипотетической жидкости или способы осреднения (пространственное, временное, пространственно-временное, вероятностное и т.д.), вообще говоря, несущественны. Важно только чтобы при выводе уравнений переноса такой жидкости использовалась бы одна и та же методика на всех этапах анализа. В дальнейшем будем использовать локальное усреднение по объёму, обладающее, по нашему мнению, наибольшей наглядностью.
Первые исследования в плане построения осреднённых уравнений выполнил в 1856 г. Г. Дарси, изучавший течение воды через плотный слой сыпучего материала высотой вдоль оси цилиндра с поперечным сечением F и длиной L под действием разности давления P. Обрабатывая экспериментальные данные для объёмного расхода воды Q, он получил соотношение
(2.1)
Позднее было замечено, что коэффициент пропорциональности b определяется коэффициентом молекулярной динамической вязкости ньютоновской жидкости и некоторым параметром , который получил название проницаемости слоя,
(2.2)
Выражение (2.2) обычно называется законом Дарси.
Однако существует по крайней мере три основных вопроса, на которые уравнение (2.2) не даёт ответа.
1. Как решить задачу для другой геометрии или других граничных условий?
Стандартный ответ: дифференциальное уравнение, аналогичное (2.2), описывает течение в каждой точке слоя (пористой среды)
(2.3)
Обычно выражение (2.3) используют в форме непосредственно определяющей скорость среды
(2.3,а)
Основная трудность, связанная с этим уравнением, заключается в том, что среднее давление P и средняя скорость v не могут быть представлены через распределение локального давления и распределение локальной скорости в порах.
2. Что можно сказать об ориентированном (обычно говорят анизотропном) слое?
Под ориентированным слоем (пористой структурой) подразумевается структура, имеющая направление или совокупность направлений, внутренне связанных с геометрией пустот (пор). Например, в естественной слоистой породе часто имеет место градиент диаметра частиц в направлении силы тяжести или в направлении, которое первоначально было направлением силы тяжести. Неориентированный слой (часто называемый изотропным) не имеет таких направлений.
Обычно говорят, что уравнение (2.3) описывает течение в изотропном слоя. Для анизотропного слоя вместо скалярной проницаемости используют тензор проницаемости второго ранга :
(2.4)
Обычно говорят, что тензор является симметричной и обратимой величиной, но обоснование этих свойств оставляет место для сомнений.
3. Как должно описываться движение вязкоупругой жидкости (шлаки, расплавы) через пористую среду?
Постараемся ответить на эти вопросы в следующих параграфах.
Мы постараемся вывести соотношения типа (2.3) и (2.4). Поскольку v и P принимаются как локальные средние скорость и давление, необходимо связать с каждой точкой слоя локально усреднённое по объёму дифференциальное уравнение неразрывности и первого закона Коши. В дальнейшем обсуждении пористая структура считается жёсткой и неподвижной.