4.6.5. Конвективный теплообмен при внешнем обтекании тел

Зачастую, например, в рекуператорах, трубы омываются внешним потоком газа. В низкотемпературных печах для интенсификации конвективного теплообмена устраивают искусственную циркуляцию газовой среды. Характерная особенность конвективного теплообмена при внешнем обтекании тел заключается в явлении отрыва (разрушения) пограничного слоя. В процессе обтекания плоских поверхностей пограничный слой отрывается при переходе от ламинарного режима течения к турбулентному; при обтекании цилиндров, сфер и призм пограничный слой отрывается всегда.

Таким образом, при омывании газом (жидкостью) плохо обтекаемых тел величина коэффициента теплоотдачи существенно зависит от координаты вдоль поверхности обтекания. Например, при обтекании цилиндра значения  максимальны в лобовой (фронтальной) его части, где минимальная толщина пограничного слоя, и в задней (кормовой) части, где образуется зона с сильно развитой турбулентностью (рис. 4.7).

Р ис. 4.7. Омывание цилиндра потоком газа (жидкости)

Наиболее просто решается задача конвективного теплообмена при продольном обтекании полубесконечной изотермической пластины ламинарным потоком с постоянной скоростью вне пограничного слоя. Если пластина изотермична, то тепловой пограничный слой образуется совместно с динамическим, начиная с передней кромки. Поэтому в данном случае можно воспользоваться уравнениями пограничных слоёв, которые для установившегося потока имеют вид:

(4.98)

(4.99)

(4.100)

Уравнения решаются при следующих граничных условиях:

u = v = 0, t = t_c при y = 0;

u  U (скорость набегающего потока), t  t_ж (температура

невозмущённого потока) при y  .

Как и в случае анализа свободной конвекции введём вместо компонентов скорости функцию тока (x, y) соотношениями, тождественно удовлетворяющими уравнению неразрывности (4.99),

Далее введём новые переменные (как они формируются, мы рассматривали ранее):

Тогда для первоначальных компонентов скорости имеем

что при подстановке в уравнения (4.98) и (4.100) даёт:

(4.101)

(4.102)

Теперь граничные условия для  и  будут равны:

 =d/d = 0,  = 0 при  = 0; d/d  2,   1 при   .

Уравнение (4.101) не содержит  и может быть проинтегрировано отдельно. Впервые это сделал Блазиус (решение Блазиуса подробно рассматривается в курсе механики жидкости и газа). Впоследствии уравнение (4.101) многократно решалось численно, так что можно считать функцию () известной (заданной). Но тогда уравнение (4.102) можно непосредственно проинтегрировать:

(4.103)

(4.104)

Используя граничное условие (0) = 0, получаем С₂ = 0. Из граничного условия () = 1 следует, что

(4.105)

Таким образом:

(4.106)

Определим теперь локальный коэффициент теплоотдачи:

Таким образом,

Nu_x =

= (4.107)

Так как зависимость () известна, можно легко вычислить интегралы в уравнении (9.107) для любых значений Pr любым численным методом. Ниже приведены частные результаты таких расчётов:

Pr 0,5 0,7 1,0 7,0 10,0 15,0

Nu_xRe_x^-0,5 0,259 0,292 0,332 0,645 0,730 0,835

Эти результаты хорошо аппроксимируются уравнением

Nu_x = 0,332Re_x^0,5Pr^0,33. (4.108)

При очень малых числах Прандтля (жидкие металлы) тепловой пограничный слой развивается настолько быстрее динамического, что не будет большой погрешностью считать скорость в тепловом пограничном слое постоянной и равной скорости набегающего потока U. Разделив уравнение (4.102) на ' и продифференцировав результат по , получим:

Но ' = 2u/U или при u = U во всём пограничном слое ' = 2. Тогда

Интегрируя это уравнение, находим

Из (4.102) следует, что при  = 0 "(0) = 0, так как (0) = 0. Отсюда С = 0 и можно записать

(4.109)

Дважды интегрируя (4.109) по , получаем

Так как при  = 0  = 0, то С₂ = 0. При      1, отсюда

С₁ =

Согласно таблицам определённых интегралов

Тогда и окончательно имеем

(4.110)

Воспользовавшись теперь соотношением (4.107), получаем следующее уравнение

Nu_x = 0,5642Re_x^0,5Pr^0,5. (4.111)

При очень больших числах Прандтля, наоборот, - динамический пограничный слой значительно больше теплового. В этом случае можно полагать, что при любом x тепловой пограничный слой находится в той части динамического, где профиль скорости приближённо линейный. Поскольку из решения Блазиуса имеем "(0) = = 1,3284, то в этой области u/y  "() = const = "(0). Тогда после двукратного интегрирования находим: () = 1,3284(²/2), и вместо (4.102) можно записать

d'/' =  0,6642 Pr ²d. (4.112)

Дважды интегрируя (4.112) по , с учётом граничных условий получаем

где так как в соответствии с таблицами определённых интегралов для m > 0. Подставляя вместо гамма-функции её значение: (1/3) = 2,679 с учётом (4.102), находим

Nu_x = 0,3387 Re_x^0,5Pr^0,33. (4.113)

Вследствие увеличения толщины пограничного слоя с возрастанием x коэффициент теплоотдачи уменьшается. Однако при x  0 _x безгранично увеличивается, так как при x = 0 градиент температур у стенки равен бесконечности.

Средний коэффициент теплоотдачи находится простым удвоением _x. В самом деле, так как _x = С/x^0,5, то

 =

Рассмотренное решение характерно с точки зрения установления зависимости Nu от Re. В отношении гидродинамической обстановки оно не вполне типично для условий работы теплотехнических агрегатов, в которых скорость внешнего потока (газового факела) переменна вдоль поверхности. Однако если представить распределение скорости в ядре потока в виде функции U = Cx^m, то уравнения (4.101) и (4.102) останутся справедливыми; необходимо лишь заменить в них число Прандтля на произведение Pr(m + 1). Функция () для случая, когда U = Cx^m, в литературе имеется, поэтому можно провести все необходимые вычисления. Результаты таких расчётов для некоторых значений m и Pr представлены в табл. 4.2.

Локальные значения числа Нуссельта приведены в табл. 4.4 при произвольных значениях m и Pr в форме

Nu_xRe_x^-0,5 = const,

откуда

Таблица 4.2. Значение комплекса Nu_xRe_x^-0,5 при ламинарном режиме

m	Значение комплекса NuxRex-0,5 при числах Прандтля
	0,7	0,8	1,0	5,0	10,0
 0,0753	0,242	0,253	0,272	0,457	0,570
0	0,292	0,307	0,332	0,585	0.370
0,111	0,331	0,348	0,378	0,669	0,851
0,333	0,384	0,403	0,440	0,792	1,013
1,0	0,496	0,523	0,570	1,043	1,344
4,0	0,813	0,858	0,938	1,736	2,236

Но U = Cx^m, следовательно

Легко видеть, что при m = 1, т.е. когда скорость ядра потока линейно возрастает от передней кромки пластины, локальный коэффициент теплоотдачи _x постоянен.

Так как профили температуры по длине поверхности подобны, постоянство _x означает, что при m = 1 толщина пограничного слоя постоянна. При m < 1 коэффициент теплоотдачи _x =  при x = 0 и уменьшается по длине поверхности в направлении течения. При m > 1 _x возрастает по x, начиная с нуля.

Средний по длине поверхности коэффициент теплоотдачи равен

откуда

/_x = 2/(m + 1).

Аналогично решаются задачи конвективного теплообмена и при других условиях: пластина с необогреваемым начальным участком, пластина с произвольным распределением температуры по длине, обтекание тела произвольной формы и т.д. Все эти решения имеются в литературе по конвективному теплообмену и здесь не приводятся. Отметим лишь, что если температура поверхности пластины изменяется в соответствии с зависимостью t_c = t₀ + a + bx, то локальное число Нуссельта равно

(4.114)

Можно видеть, что при b = 0 это уравнение трансформируется к решению при постоянной температуре стенки. При a = 0 оно также упрощается до подобной зависимости, но число Нуссельта возрастает на 61,2 % по сравнению с предыдущим случаем. Если b < 0, например b =  2a/l, где l – длина пластины, возникает бесконечный разрыв функции Nu(x). Легко также заметить, что уже с x/l = 0,31 пластина начинает воспринимать теплоту, хотя температура её превышает температуру газа (жидкости) вплоть до x/l = 0,5. Следовательно, при 0,31 < x/l < 0,5 пластина нагревается, несмотря на то, что внешний поток холоднее пластины. Это объясняется тем, что, начиная уже с x/l > 0,31, температура пограничного слоя избыточна по отношению к пластине. При x/l > 0,5 профили температуры в пограничном слое характеризуются вблизи пластины уже отрицательными (по отношению к температуре невозмущённого потока) значениями, хотя на некотором удалении от неё они всё ещё остаются положительными. Этот эффект обусловлен тем, что охлаждение пограничного слоя со стороны пластины лишь постепенно охватывает его внешние слои.

При рассмотрении этого примера (точно так же, как и при анализе течения в трубах) выясняется, что если температура стенки переменна, когда переменный температурный напор изменяется в направлении от стенки к внешнему потоку, невозможно построить величину, имеющую смысл коэффициента теплоотдачи для пластины в целом, так как при суммировании тепловых потоков разного знака полностью теряется смысл этого понятия. Поэтому для пластины в целом приходится ограничиваться определением теплового потока, чего, впрочем, достаточно для расчётов (проектирования). Практическое значение разобранного примера очевидно уже из того факта, что более распространённым в технике является именно случай переменной температуры стенки.

Рассмотренные выше случаи конвективного теплообмена при внешнем ламинарном течении нетрудно распространить на турбулентный пограничный слой. Здесь лишь необходимо уравнение (4.100) заменить на уравнение

(4.115)

которое решается при тех же самых граничных условиях, что и (4.100).

Универсальный профиль распределения скорости [уравнения (4.31,а) – (4.31,в)]

сохраняется ипри внешнем обтекании. поэтому решение уравнения (4.115) полностью повторяет решение уравнения (4.82,а) и здесь не приводится. Единственное отличие в граничных условиях (отсутствие симметричного профиля скорости) приводит к несколько иному решению:

Nu_x = (4.116)

Хотя и использование (4.116) не вызывает затруднений, практически с той же степенью точности при умеренных числах Прандтля можно получить число Нуссельта по выражению

Nu_x = 0,0295 Re_x^0,8Pr^0,6. (4.116,а)

В диапазоне Pr = 0,5  10 для газов и лёгких жидкостей результаты расчётов по уравнениям (4.116) и (4.116,а) хорошо согласуются с опытными данными.

Вопросы расчёта конвективного теплообмена при отрыве пограничного слоя мы рассматривать не будем, поскольку они целиком базируются на опытных данных.

123