4.6.3. Влияние изменения температуры стенки по длине трубы

Ранее было показано, что при развитом профиле температур (на основном участке) и постоянной плотности теплового потока на стенке температура стенки и средняя массовая температура среды изменяются вдоль оси трубы линейно. Коэффициент теплоотдачи зависит, следовательно, от характера изменения температуры стенки по длине трубы. Необходимо знать, при каких условиях  значительно изменяется по длине трубы и когда его можно считать постоянным.

В теплотехнических расчётах обычно используют постоянные осреднённые по длине канала коэффициенты теплоотдачи. Осреднённые значения определяют и в экспериментальных исследованиях теплообмена. Но всегда ли возможно осреднение, и имеет ли  физический смысл при изменении температуры стенки и плотности теплового потока по длине канала? Что в некоторых случаях операция осреднения теряет смысл мы, уже показывали при описании образования "горячих пятен".

Определить влияние аксиального изменения температуры стенки на теплоотдачу позволяют математические свойства уравнения энергии. Это – линейное дифференциальное уравнение. и как для всякого линейного дифференциального уравнения для него справедлив принцип суперпозиции (наложения) когда сумма его решений представляет собой ещё одно решение. Произвольное распределение температуры по длине трубы можно аппроксимировать ступенчатым распределением и определить общее решение суммированием решений для каждой ступени. Чтобы начать расчёты, необходимо лишь иметь решение для ступенчатой температурной функции, т.е. для случая, когда температуры газа (жидкости) и стенки первоначально одинаковы, а затем в некотором сечении x температура стенки скачкообразно изменяется до нового значения, после чего остаётся постоянной. Уравнение (4.67) представляет собой именно такое решение для круглой трубы при стабилизированном профиле скорости, причём x = 0 соответствует не входу в трубу, а сечению, где начинается теплообмен.

Если единичное ступенчатое изменение температуры стенки происходит при x = 0, то решением для температуры среды будет уравнение (4.67) в котором

(4.73)

Если же ступенчатое изменение температуры стенки происходит не при x = 0, а в некотором сечении , то справедливо это же решение, но температура в сечении x⁺ вычисляется из соотношения

Сопоставление двух последних выражений показывает, что решение (4.67) имеет универсальный характер, т.е. оно должно быть верным и для бесконечно малых изменений температур:

откуда dt = [1  (x⁺  , r⁺)] dt_c.

Аналогично конечное приращение температуры среды в сечении x⁺, вызванное ступенчатым изменением температуры стенки t_c в сечении , равно

t = [1  (x⁺ , r⁺)] t_c.

Общее решение для температуры газа (жидкости) в сечении x⁺ равно сумме вкладов всех бесконечно малых и конечных ступенчатых изменений температуры от  = 0 до  = x⁺. При непрерывном изменении t_с сумма сводится к определённому интегралу. Если функция t_с имеет разрывы, то к интегралу прибавляется сумма вкладов от изменения t_с в сечениях, где происходят разрывы. Таким образом, температура газа (жидкости) при произвольных значениях x⁺ и r⁺ определяется уравнением

(4.74)

Здесь k – число разрывов функции t_c(x⁺) и учтено, что переменной интегрирования является .

Конечным этапом решения задачи является определение локальной плотности теплового потока на стенке в сечении x⁺, коэффициента теплоотдачи и числа Нуссельта.

Согласно закону Фурье, для плотности теплового потока на стенке имеем:

Дифференцируя уравнение (4.74) по r⁺, приравнивая r⁺ единице и подставляя результат в предыдущее соотношение, получаем

(4.75)

где

Производную ' можно вычислить путём дифференцирования (4.67) по r⁺:

Тогда

(4.76)

В качестве примера использования приведённых зависимостей рассчитаем теплообмен в случае ступенчатого изменения температуры стенки при x⁺ = 0 с последующим линейным её изменением (увеличением или уменьшением), т.е. t_c = t₀ + + a + bx⁺. Подставляя (4.76) в (4.75), обозначая dt_c/d через b, а t_c через a, интегрируя в пределах от 0 до x⁺ и замечая, что [см. уравнение (4.69)], находим

(4.77)

Локальное число Нуссельта определяется следующим образом. Сначала интегрированием уравнения (4.77) от нуля до x⁺ вычисляется общий поток теплоты, передаваемый до рассматриваемого сечения. Затем из теплового баланса газа (жидкости) в сечении x⁺ [см. выше вывод уравнения (4.64)] находим среднюю массовую температуру среды

(4.78)

Теперь можно определить локальные коэффициент теплоотдачи и число Нуссельта:

q_c(x⁺) = _x(t_c – t_ж);

Nu_x = (4.79)

При больших значениях x⁺ все суммы, содержащие экспоненты, стремятся к нулю. При этом уравнение (4.79) сводится к выражению

Nu_x =

Согласно данным таблицы, приведённой после формулы (4.71), сумма в знаменателе этого выражения равна 0,01433. Тогда

Nu_x = 1/(160,01433) = 4,364,

т.е. получаем значение для стабилизированного теплообмена при постоянной плотности теплового потока на стенке. При b = 0 уравнение (4.79) трансформируется в соотношение (4.70).

Исследование (4.79) позволяет показать, сколь сложным образом изменяется коэффициент теплоотдачи и число Нуссельта при различном характере изменения температуры стенки.

Рассмотрим, например, трубу, температура стенки которой превышает соответствующую температуру среды, а затем линейно уменьшается и при x⁺ = 0,2 достигает температуры газа (жидкости) на входе, т.е.

t_c = t₀ + (1 – 5x⁺)(t_c⁰ – t₀).

С помощью уравнений (4.77) – (4.79) при b =  5 легко определить зависимости t_ж, Nu_x и q_c от x⁺. Результаты этих расчётов представлены в табл. 4.1 и на рис. 4.6. Совершенно очевидно, что в подобных задачах использование коэффициента теплоотдачи лишено смысла.

Таблица 4.1. Изменение параметров конвективного теплообмена по длине трубы

x+	qcR/[2(tc0 – t0)]	c	ж	Nux
0		1	0
0,02	0,7691	0,9	0,2329	4,6062
0,04	0,4231	0,8	0,3246	3,5427
0,06	0,2303	0,7	0,3759	2,8427
0,08	0,0947	0,6	0,3981	1,8772
0,10	 0,0101	0,5	0,4079	 7,6229
0,12	 0,0977	0,4	0,3990	 380,90
0,14	 0,1707	0,3	0,3773	8,8297
0,16	 0,2331	0,2	0,3449	6,4333
0,18	 0,2866	0,1	0,3032	5,6410
0,20	 0,3327	0,0	0,2536	5,2483
0,30	 0,4844	 0,5	 0,0806	4,6194

Рис. 4.6. Зависимость параметров теплообмена от x⁺

Таким образом, можно сделать следующий вывод. Если в системе возможна ситуация, когда в некотором сечении температура стенки становится равной средне массовой температуре газа (жидкости), то использование  нецелесообразно, ибо коэффициент теплоотдачи в такой системе не имеет физического смысла. Это обстоятельство необходимо помнить, используя для расчётов различного рода обобщённые зависимости, полученные на основе обработки экспериментальных данных.