4.5. Теплоотдача при свободной конвекции

Свободное движение газов может наблюдаться в сушилах, а также вокруг наружных поверхностей ограждения печей, воздухопроводов, газопроводов и т.д. Оно вызывается местным неравномерным нагревом или охлаждением теплоносителя.

Пусть имеется вертикальная нагретая труба определённой высоты. Движение контактирующего с ней воздуха начинается у нижнего конца трубы, причём поначалу это чётко выраженное ламинарное течение. На некотором расстоянии от нижнего конца трубы ламинарное движение нарушается. Помимо ламинарного подслоя, примыкающего к поверхности трубы, на периферии движущегося потока появляются отдельные искривлённые струйки. Затем искривление струек усиливается, и ламинарный характер течения потока сменяется турбулентным. Аналогичный характер движения воздуха наблюдается у вертикальных нагретых плит.

Описанная картина, за исключением направления движения, очень напоминает процесс обтекания потоком плоской или слабо искривлённой поверхности. Очевидно, здесь наблюдается полная аналогия закономерностей развития пограничных слоёв, и можно ожидать, что развитое ранее математическое описание теплового пограничного слоя, с некоторыми изменениями, применимо и в этом варианте свободной конвекции.

Характер движения потоков у горизонтальных плит и цилиндров зависит от их размера, а также от того, куда обращена теплоотдающая поверхность. Если размеры плиты невелики, и она обращена теплоотдающей поверхностью вверх, то на ней формируется один восходящий поток воздуха в виде расширяющейся струи, причём холодный воздух поступает к основанию струи с краёв пластины. Иной характер будет иметь движение потока при больших размерах пластины. В этом случае на её поверхности формируется множество струй как восходящих, т.е. уходящих от поверхности, так и нисходящих. Если же нагретая поверхность обращена вниз, то движение происходит лишь в тонком слое под поверхностью, остальная масса среды ниже этого слоя остаётся неподвижной.

4.5.1. Вертикальная пластина и горизонтальный цилиндр

Физическая картина свободной конвекции хорошо удовлетворяет основным предпосылкам теории пограничного слоя, так как движение среды вызвано только различием её температур у поверхности тела и в отдалении от него. Ограниченная скорость движения газа (жидкости) при свободной конвекции позволяет не учитывать теплоту трения. Давление в пограничном слое в поперечном направлении к поверхности не изменяется (p/у = 0). Поскольку за пределами пограничного слоя среда неподвижна, то отсутствует изменение давления и вдоль поверхности (p/у = 0) – это вытекает из уравнения Эйлера. Допуская, что в пограничном слое течение ламинарное, уравнения движения, энергии и неразрывности (4.6), (4.7) и (4.8) для однородной среды с неизменными физическими свойствами применительно к простейшему случаю обтекания вертикальной плоской стенки можно записать в следующем виде:

(4.20)

(4.21)

(4.22)

Здесь  = (t – t_ж)/(t_с – t_ж). В уравнении движения (4.20) по сравнению с (4.8) добавлено слагаемое, характеризующее подъёмную силу, причём коэффициент теплового (объёмного) расширения равен

Такая постановка задачи предполагает настолько малое изменение плотности среды, что можно не учитывать её сжимаемость. Однако этих изменений вполне достаточно для существование тепловой подъёмной силы, соизмеримой с силами инерции и трения.

Граничные условия для уравнений (4.20) – (4.22) таковы:

(4.23)

Если ввести функцию тока (x, y) так, чтобы u = /y и v =  /x, то уравнение неразрывности (4.21) будет тождественно удовлетворяться. Однако, сама функция (x, y) пока не определена, поэтому рассмотрим этот вопрос подробнее.

Из связи функции тока с компонентами скорости u = /y следует, что

(а)

Ламинарные пограничные слои, как известно, обладают свойством автомодельности, т.е. при любом значении x безразмерный профиль скорости u/u₁ = F() подобен самому себе. Здесь автомодельная переменная  = y/_x , _x  локальная толщина пограничного слоя, а u₁ – некоторая базовая (масштабная) скорость, зависящая только от x.

В данной задаче пограничный слой является компромиссом между силами вязкости и силами плавучести (подъёмными силами), поэтому локальная толщина пограничного слоя _x обязательно должна быть обратно пропорциональной числу Грасгофа Gr_x = gx³(t_с – t_ж)/² и прямо пропорциональной текущей координате x. Поэтому примем, что  = y(AGr_x)ⁿ/x^m, где A – пока неизвестная постоянная. Полагая также, что u₁ = C₁x^l, из (а) получим

(б)

Используя эту пока не вполне определённую функцию, находим

Подставив эти значения в уравнение (4.20), получим

(4.24)

Это уравнение должно выполняться при любом x, а для этого оно не должно зависеть от x вовсе. Нетрудно заметить, что это возможно, если все показатель степени при x будут равны нулю. Отсюда получаем два уравнения для определения показателей степени: 2l – 1 = 0, или l = ½, и l + 6n – 2m = 0, т.е. 6n – 2m =  ½. Чтобы получить дополнительное уравнение, потребуем, чтобы будущее решение совершенно не зависело от природы жидкости и от условий теплообмена, а для этого должно выполняться равенство

Отсюда видим, что

т.е. n = ¼. Тогда m = 1, и вместо (4.24) получаем

(4.25)

и, кроме того, устанавливаем окончательный вид автомодельных переменных

В этих переменных уравнение энергии (4.22) принимает вид

(4.26)

Так как

то граничные условия (4.25) и (4.26) необходимо записать в виде

(4.27)

Дифференциальные уравнения (4.25) и (4.26) можно решить, воспользовавшись разложением в ряд по степеням  вблизи точки  =0, или, что даёт лучшие результаты, численно на ЭВМ, например, в рамках известных пакетов Mathcad, Mathematica, MATLAB и т.п. Нетрудно заметить, что результаты решения зависят лишь от чисел подобия Pr и Gr_x (входит в автомодельную переменную ) (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Зависимость относительной температуры от чисел Прандтля и Грасгофа при свободной конвекции у вертикальной пластины

Локальное значение коэффициента теплоотдачи _x определяется из уравнения теплоотдачи (4.4):

(4.28)

отсюда

(4.29)

Из результатов численного решения имеем

Pr 0,01 0,733 1 2 10 100 1000

- '(0) 0,0812 0,5080 0,5671 0,7165 1,1694 2,1910 3,9660

Эти данные хорошо аппроксимируются (погрешность составляет доли процента) выражениями

Например, при Pr =0,733 (для воздуха) получаем '(0) =  0,508064, что отличается от точного значения всего на 0,0126 %. Для этих условий

Отсюда путём интегрирования по высоте стенки от 0 до H находим средний коэффициент теплоотдачи

или

Вообще же

В литературе широко используется формула

Nu = A(GrPr)^0,25, (4.30)

где коэффициент A определяется числом Прандтля

Pr 0,01 0,733 1 2 10 100 1000

A 0,2421 0,5176 0,5347 0,5680 0,620 0,6532 0,6649

Полученные формулы хорошо подтверждаются экспериментальными исследованиями теплоотдачи вертикальных пластин в неограниченном свободном потоке, для которого сохраняется ламинарный режим течения. Для горизонтально расположенного цилиндра диаметром d теоретическое решение приводит к соотношению

(4.31)

Сравнение теплоотдачи вертикальной пластины и горизонтального цилиндра даёт Nu_H/Nu_d = 1,29, т.е. при равных значениях числа Грасгофа и при H = d коэффициент теплоотдачи для пластины на 29 % больше, чем для цилиндра. Для равенства средних коэффициентов теплоотдачи требуется, чтобы H/d = 2,747.

Приведённые зависимости характеризуют ламинарный режим течения, который сохраняется до Gr < 10⁹. Теории турбулентной теплоотдачи при свободной конвекции до сих пор не существует. Поэтому для значений Gr > 10⁹ необходимо использовать экспериментальные данные или результаты приближённых решений. В общем случае при GrPr > 10⁹ на нижней части поверхности от 0 до H_кр, где

(4.32)

сохраняется ламинарный пограничный слой, для которого справедливы полученные ранее решения. На участке H – H_кр развит турбулентный пограничный слой, и здесь коэффициент теплоотдачи равен _т. Результирующий (средний) коэффициент теплообмена для всей поверхности определяется выражением

 = [_лH_кр + _т(H – H_кр)]/H. (4.33)