4.3. Уравнение теплового пограничного слоя

В силу общей нелинейности математического описания процесса конвективного теплообмена аналитическое решение задач этого вида теплопереноса возможно лишь для некоторых, весьма специфических, случаев. Обычно это связано с возможностью раздельного решения задач движения и теплообмена. О таких задачах говорят как о несвязанных или несопряжённых. В большинстве случаев конвективного теплообмена процессы движения и переноса теплоты сопряжены. При этом возможно только численное решение задач конвективного теплообмена на ЭВМ или приближённое решение с использованием различного рода упрощающих предпосылок. В настоящее время аналитические методы исследования конвекции с использованием понятий пограничных слоёв разработаны до такой степени, что на долю эксперимента остаётся его классическая роль – проверка достоверности теоретической модели. Это, конечно, не означает, что прямые опытные данные утратили значение для инженерной практики, но сфера полной зависимости от них значительно сузилась. Теплотехники теперь представляют явление конвекции намного лучше, и могут с уверенностью аналитически решать задачи, опытное исследование которых длительно и дорогостояще (да и не безопасно).

Уравнения гидродинамического и теплового пограничных слоёв получают из уравнений движения Навье-Стокса и уравнения энергии путём исключения слагаемых пренебрежимо малого значения. При этом учитывают основную особенность пограничного слоя – его очень малые размеры (незначительные размеры) по нормали к поверхности.

Вывод уравнений гидродинамического пограничного слоя впервые выполнил Л. ф. Прандтль. Этот вывод подробно излагается в курсе механики жидкостей и газов и поэтому здесь не приводится. Для случая течения потока вдоль плоской или слабо искривлённой поверхности уравнения динамического пограничного слоя имеют вид (при  = const):

(4.8)

(4.9)

Уравнение теплового пограничного слоя впервые получено и решено У. Польгаузеном. Повторим его рассуждения, предполагая омывание двумерным потоком плоской или слабо искривлённой поверхности.

Пусть температура поверхности t_с постоянна, а температура среды на большом удалении равна t_ж. Для двумерного потока в соответствии с (4.5) имеем

(4.10)

Тогда обозначив толщину теплового пограничного слоя через , а толщину динамического пограничного слоя через , можно оценить порядок отдельных слагаемых уравнения энергии.

С учётом того, что силы вязкости и температурные неоднородности сосредоточены в тонком слое вдоль поверхности толщиной  (или ), которая по условию считается очень малой, можно ввести следующую шкалу величин:

• ² (или ²) – бесконечно малая величина;

•  (или ) – малая величина;

• 1 – величина нормального порядка;

• 1/ (или 1/) – очень большая величина;

• 1/² (или 1/²) – бесконечно большая величина.

Величины t, u и x являются определяющими в процессе конвективного теплообмена, поэтому t  1, u  1 и x  1. Тогда u/x  1, t/x  1, а поскольку течение должно остаться двумерным из (4.9) вытекает, что v/y  1. Отсюда имеем v  , ²t/x²  1, t/y  1/ и ²t/y²  1/². Чтобы теплопроводность была одного порядка с конвекцией, должно выполняться условие   ². Но тогда слагаемое²t/x² оказывается на два порядка меньше слагаемого ²t/y² и, следовательно, может

быть отброшено. Физически это означает, что теплопроводность газа (жидкости) в направлении течения пренебрежимо мала по сравнению с теплопроводностью в направлении, перпендикулярном течению.

Таким образом, уравнение энергии применительно к тепловому пограничному слою преобразуется к виду:

(4.11)

Уравнения (4.8) и (4.11) решаются при следующих граничных условиях:

(4.12)

Если температура поверхности (стенки) не задана и рассматривается случай, когда поверхность не получает и не отдаёт теплоту (теплоизолирована), то на границе имеем условие

t/y = 0 при y = 0.

Это условие заменяется на соотношение t/y =  q_с/, если на границе задана плотность теплового потока.

Решать уравнения пограничных слоёв много легче, чем исходную систему уравнений конвективного теплообмена.