4.2. Математическое описание конвективного теплообмена

Конвективный теплообмен, как это вытекает из изложенного выше, представляет собой совокупность тепловых и гидродинамических явлений. Отсюда следует, что математическое описание данного процесса, по необходимости, должно быть достаточно сложным и включать группу (систему) соответствующих дифференциальных уравнений. Рассмотрим эти уравнения подробнее.

Уравнение теплоотдачи. Разрешая выражение (4.2) относительно коэффициента конвективной теплоотдачи , находим

(4.4)

Если ввести максимальный _с = t_с – t_ж и текущий  = t  t_ж (или t_с – t) температурные "напоры" и перейти к общему трёхмерному случаю, то можно записать

(4.4,а)

где n – нормаль к поверхности тела, направленная в сторону потока.

Таким образом, для того, чтобы найти коэффициент теплообмена, необходимо знать температурный градиент в среде, т.е. знать температурное поле потока.

Уравнение энергии описывает закономерности изменения температур в потоке газа (жидкости). Оно выводится из баланса тепловой энергии элементарного объёма среды. Этот вывод подробно приводится в учебниках и учебных пособиях, поэтому здесь не повторяется. Заметим только, что уравнение энергии практически совпадает с известным уравнением Фурье-Кирхгофа, и для случая движения газа (жидкости) с умеренными скоростями имеет вид:

(4.5)

Здесь предполагается, что поток несжимаемый, т.е.  = const. В общем случае, при больших перепадах давления и значительных скоростях к уравнению Фурье-Кирхгофа добавляется ещё два слагаемых, характеризующих работу сжатия и теплоту трения. Однако этими слагаемыми при анализе теплообмена в условиях работы металлургических печей и промышленных теплоагрегатов можно пренебречь, так как в них скорость потока газов (жидкости) относительно невелика.

Из уравнения (4.5) видно, что температурное поле в движущейся среде зависит от составляющих скорости u, v и w. Для их определения необходимо воспользоваться уравнениями, которые описывали бы изменение скорости во времени и в пространстве. Такими уравнениями являются дифференциальные уравнения сохранения количества движения (импульса) и массы (неразрывности).

Уравнения гидродинамики. Известные из курса механики жидкости и газа уравнения неразрывности и движения (Навье-Стокса) можно записать в виде:

• уравнение баланса массы (неразрывности)

(4.6)

или для несжимаемой жидкости

(4.6,а)

• уравнения баланса импульса (уравнения движения Навье-Стокса)

(4.7)

Здесь

полная или субстанциональная производная скорости; g_x, g_y и g_z – проекции ускорения, вызванного массовой силой, на оси прямоугольных декартовых координат;   коэффициент молекулярной динамической вязкости.

Таким образом, задача конвективного теплообмена описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений (4.4) – (4.7). Эта система имеет бесконечное множество решений, и чтобы получить единственное решение необходимо к ней присоединить условия однозначности. Что это такое, нам хорошо известно из дисциплин бакалавриата, поэтому здесь мы на описании условий однозначности останавливаться не будем.

В случае течений несжимаемой жидкости с постоянной вязкостью шести уравнений системы (4.4) – (4.7) достаточно для отыскания шести неизвестных (, t, u, v, w и p), т.е. для ламинарного режима движения газа (жидкости) данная система замкнута и, в принципе, может быть решена (по крайней мере, численно на ЭВМ). При турбулентном движении ситуация существенно усложняется; отсутствие развитой теории турбулентности ограничивает возможность расчёта коэффициентов конвективной теплоотдачи использованием приближённых инженерных методик или эмпирических соотношений. Ниже мы рассмотрим некоторые из этих методик.