Приближение оптически толстого слоя (приближение Росселанда, или диффузионное приближение)

Среда называется оптически толстой, если средняя длина свободного пробега фотона (т.е. величина, обратная коэффициенту ослабления) мала по сравнению с её характерным размером. Главное преимущество этого приближения состоит в том, что оно даёт очень простое выражение для плотности потока результирующего излучения. Ниже мы дадим краткий вывод выражения для плотности монохроматического потока излучения в приближении оптически плотного слоя.

Запишем формальные решения уравнения переноса излучения для плотности монохроматического потока излучения и спектральной функции источника S_():

(3.140)

и

(3.141)

Разложим функцию источника S_() в ряд Тейлора в окрестности :

(3.142)

Для оптически толстой среды , ₀ и (₀  ) очень велики всюду за исключением областей вблизи границ. Таким образом, рассматриваются области вдали от границ, где можно считать, что

, ₀ и (₀  ) » 1. (3.143)

Для больших  интегроэкспоненциальная и экспоненциальная функции стремятся к нулю

(3.144)

Подставляя разложение (3.142) в (3.140) и (3.141), беря по частям интегралы с переменной интегрирования ' и упрощая полученные выражения с помощью (3.144), получаем

S_() = I_b[T()], (3.145)

(3.146)

Приведённые формулы справедливы для оптически толстой среды в области, удалённой (оптически) от границ. Выражение (3.146) называется приближением оптически толстого слоя для плотности монохроматического потока результирующего излучения .

Теперь можно записать выражение для плотности интегрального потока результирующего излучения в приближении оптически толстого слоя:

(3. 147)

или

(3.148)

Здесь _ = _ + _  спектральный коэффициент ослабления, складывающийся из спектрального коэффициента поглощения и спектрального коэффициента рассеяния.

Производная от по y равна

(3.149)

Подставляя (3.149) в (3.148), получаем

(3.150)

Определим средний по Росселанду коэффициент ослабления _R как

(3.151)

Тогда выражение (3.150) примет вид

(3.152)

или

(3.153)

так как

(3.154)

где n – показатель преломления среды, а  коэффициент Стефана – Больцмана.

Для постоянного n выражение (3.153) может быть представлено в виде

(3.155,а)

где

(3.155,б)

Коэффициент _r называют коэффициентом лучистой теплопроводности по аналогии с известным в теории теплопроводности коэффициентом теплопроводности. Выражение (3.155,а) имеет тот же вид, что и соответствующее выражение для плотности теплового потока за счёт теплопроводности; отсюда видно, что приближение оптически толстого слоя описывает процесс переноса излучения как диффузионный процесс.

Выражение (3.153) [или (3.155)] называют приближением Росселанда или диффузионным приближением для плотности потока излучения. Средний по Росселанду коэффициент ослабления _R, определяемый выражением (3.151), может быть рассчитан с помощью функции излучения второго рода.

Детали использования приближённых методов расчёта теплообмена излучением модно найти в монографиях:

1. Оцисик М.Н. Сложный теплообмен: Пер. с англ. – М.: Мир, 1976.  616 с.

2. Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением: Пер. с англ. – М.: Мир, 1975. 934 с.