3.4. Приближённые методы решения уравнения переноса излучения
Математические трудности, возникающие при решении интегро-дифференциальных уравнений, привели к появлению ряда приближённых методов решения уравнения переноса излучения. В приближении оптически тонкого и оптически толстого слоёв (последнее называется также диффузионным приближением, или приближением Росселанда) используются упрощения, вытекающие из предельного значения толщины среды. В приближениях Эддингтона и Шустера – Шварцшильда упрощения связаны с введением допущений об угловом распределении интенсивности излучения. В методе экспоненциальной аппроксимации ядра интегроэкспоненциальные функции в формальном решении заменяются экспонентами. Метод сферических гармоник, метод моментов и метод дискретных ординат – наиболее разработанные методы, позволяющие получить приближения более высокого порядка.
Приближённые методы полезны с той точки зрения, что они дают различные простые способы решения сложных задач переноса излучения, однако их применение ограничивается тем обстоятельством, что точность приближённого метода не может быть оценена без сравнения с точным решением. Поэтому ниже в качестве иллюстрации мы рассмотрим лишь два из перечисленных выше методов.
Приближение оптически тонкого слоя
Приближение
оптически тонкого слоя основано на
предположении, что оптическая толщина
среды 0
чрезвычайно мала (т.е. 0
« 1). В этом случае интегроэкспоненциальные
функции
где
n
– порядок функции, и экспоненту можно
представить в виде
E2() = 1 – O(), ( 3.122,а)
E3() = ½ + O(2), ( 3.122,б)
e = 1 + O(2). ( 3.122,в)
Если подставить эти выражения в формальные решения, рассмотренные ранее, то можно получить относительно простые выражения для функции источника, интенсивностей излучения на граничных поверхностях, плотности потока результирующего излучения и других величин. Применение этого приближения иллюстрируется ниже на некоторых частных примерах.
Выражение для функции источника. Формальное решение для спектральной функции источника в предположении изотропного излучения и осевой симметрии имеет вид
(3
.123,а)
где спектральное альбедо, которое представляет собой отношение коэффициента рассеяния к коэффициенту ослабления; Ib спектральная (или монохроматическая) интенсивность излучения абсолютно чёрного тела при температуре T по Планку
(3
.123,б)
h
– постоянная Планка; k
– постоянная Больцмана; c
– скорость света; T
- абсолютная температура;
частота;
и
спектральные интенсивности излучения
на границах плоского слоя (см. рис. 3.9 ).
Р
ис.
3.9. Система координат при формальном
решении уравнения переноса излучения
в плоском слое
Для оптически тонкого слоя (т.е. при 0 « 0), подставляя в (3.123,а) приближённые выражения (3.122) и пренебрегая слагаемыми, имеющими порядок 0, получаем
(3.124)
Отсутствие здесь интегрального слагаемого говорит о том, что не происходит ослабления излучения, испускаемого самой средой. Физический смысл этого явления состоит в пренебрежимо малом влиянии самопоглощения излучения из-за очень малой оптической толщины среды.
Выражения для интенсивности излучения на граничных поверхностях. Рассмотрим уравнения для интенсивностей излучения на граничных поверхностях изотропно рассеивающего плоского слоя с диффузно отражающими границами
(
3.125,а)
(3
.125,б)
Здесь
1
и 2
спектральные полусферические степени
черноты,
и
спектральные полусферические диффузные
отражательные способности граничных
поверхностей.
Учитывая приближённые соотношения (3.122,б) и пренебрегая слагаемыми, имеющими порядок 0, перепишем уравнения (3.125) в виде
>
0, (3.126,а)
,
< 0. ( 3.126,б)
Разрешив эту систему относительно интенсивностей излучения на граничных поверхностях, получаем
(3.127,а)
(3.127,б)
где для простоты опущен индекс d при ri.
Выражение для плотности монохроматического потока результирующего излучения. Формальное решение уравнения переноса излучения для случая изотропного рассеяния даёт следующее выражение для плотности потока монохроматического излучения
(3.128)
При использовании (3.122) выражение (3.128) упрощается и принимает вид
(3.129)
Здесь сохранены слагаемые порядка 0, и поэтому это выражение имеет такой же порядок точности. Если слагаемыми порядка 0 пренебречь, то (3.129) упростится и примет вид
(3.130,а)
Если граничные поверхности непрозрачны и r1 = 1 1, r2 = 1 2, то, подставляя выражения (3.127) в (3.130,а), получаем
(3.130,б)
т.е. обычное выражение, используемое для расчёта плотности монохроматического потока результирующего излучения между двумя непрозрачными пластинами, разделёнными прозрачной средой.