Резольвентный зональный метод

Из изложенного выше вытекает, что классический зональный метод особенно удобен для расчёта радиационного теплообмена в системах с диатермичной средой. В общем же случае, при учёте излучения газового объёма, решение системы зональных уравнений существенно усложняется. Причиной этого, в конечном счёте, является то, что описание радиационного теплообмена в рамках классического зонального метода основано на использовании обобщённых угловых коэффициентов _ij, связывающих потоки падающего и эффективного излучения: {Q_пад} = = {Q_эф}[]. Понятие потока эффективного излучения становится, таким образом, необходимым элементом описания теплообмена, поэтому построение зональных уравнений производят, исходя из соотношения

Q_рез = Q_пад – Q_эф.

К сожалению, это соотношение применимо лишь к поверхностным зонам, а для объёмных зон приходится пользоваться другим выражением

Q_рез = Q_погл – Q_соб = aQ_пад – Q_соб, (3.111)

в которое явно поток эффективного излучения не входит. Этим и объясняется то обстоятельство, что объёмные зоны плохо вписываются в схему классического зонального метода.

Анализ физической сущности процесса радиационного теплообмена, которым мы занимались в предыдущих лекциях, показывает, что все виды потоков излучения обусловлены собственным излучением зон (поверхностных и объёмных). Однако, чтобы выявить в потоках падающего или эффективного излучения составляющие их доли собственного излучения всех элементов системы, необходимо использовать разрешающие угловые коэффициенты излучения. Напомним, что по определению разрешающий обобщённый угловой коэффициент излучения _ji выражает вклад собственного излучения j-той зоны в лучистый поток, падающий на i-тую зону как непосредственно, так и после отражения от множества k-тых поверхностей: Q_{пад ji} = Q_{соб i}_ji. Таким образом, введение разрешающих обобщённых угловых коэффициентов излучения позволяет учесть переотражения от поверхностных зон без использования понятия потоков эффективного излучения.

Полная величина потока излучения, падающего на i-тую зону при наличии в системе поглощающего газа, определяется выражением

(3.112)

или в матричном виде

{Q_пад} = {Q_соб}[]. (3.112,a)

Последнее соотношение совместно с выражением (3.111) составляет основу математической модели радиационного теплообмена в рамках резольвентного зонального метода. Для зон I рода – как поверхностных, так и объёмных – получим

(3.113)

где l₁ = m₁ + n₁ – общее число зон I рода. Для зон II рода имеем

(3.114)

Простота и наглядность системы зональных уравнений (3.113), (3.114) (по сути дела, это одно уравнение по-разному записанное) обусловлены тем, что все сложности решения задачи радиационного теплообмена сконцентрировались в разрешающих обобщённых угловых коэффициентах _ji. Как их определяют?

Вернёмся к подсистеме (3.103), определяющей потоки эффективного излучения для поверхностных зон I рода. В матричной форме записи она имеет вид

{Q_эф}([I] – [][R]) = {Q_соб}, (3.115)

где [R]  [_ji r_i] = [_ji (1 – a_i)] – диагональная матрица отражательных способностей. Подставим формальное решение (3.115)

в уравнение, связывающее поток падающего излучения с потоком эффективного излучения

(3.116)

Приравнивая правые части (3.112,а) и (3.116), получаем

(3.117)

Матрица называется резольвентой уравнения (3.115), откуда и происходит название метода. Умножив (3.117) слева на и раскрыв скобки, находим

[] = [] + [][R][]. (3.117,а)

В индексной форме записи имеем

(3.118)

т.е. поток собственного излучения j-той зоны, попадающий на i-тую зону, складывается из доли этого излучения, достигающего i-той зоны непосредственно, а также суммарной доли после отражения от поверхности всевозможных k-тых зон. Напомним, что для объёмных зон r_k = 0, и суммирование в (3.118) производится лишь по поверхностным зонам.

При практических вычислениях определение _ji осуществляют на основе другого варианта индексной формы записи уравнения (3.117,а)

(3.119)

Каждому фиксированному k в этой совокупности соответствует система l линейных уравнений, в правой части которой фигурируют элементы k-того столбца матрицы [], а неизвестными величинами являются элементы k-того столбца искомой матрицы []. Таким образом, для отыскания всех разрешающих обобщённых угловых коэффициентов необходимо решать l систем линейных уравнений, различающихся только правыми частями. Это увеличение промежуточной работы является платой за упрощение конечной системы зональных уравнений.

Потоки собственного излучения однозначно выражаются через температуры зон: Q_{соб i} = , поэтому в практических расчётах уравнения (3.113) и (3.114) используют в форме:

для зон I рода (1  i  l₁)

(3.120)

где A_ji = _j ₀F_j (a_i_ji - _ji) – коэффициент радиационного обмена;

для зон II рода (l₁ + 1  i  l)

(3.121)

Решение системы начинают с уравнения (3.121).

Резольвентный зональный метод можно распространить на более общий случай, когда в рабочем пространстве печи теплота переносится не только излучением, но и конвекцией. Мы не будем здесь останавливаться на этом вопросе, отсылая читателя к учебной литературе:

1. Арутюнов В.А., Бухмиров В.В., Крупенников С.А. Математическое моделирование тепловой работы промышленных печей: Учебник для вузов. – М.: Металлургия, 1990. 239 с.

2. Дзюзер В.Я., Швыдкий В.С. Проектирование энергоэффективных стекловаренных печей. – М.: "Теплотехник", 2009. 340 с.