Классический зональный метод

Перейдём теперь к устранению первого недостатка – предположения о диатермичности среды, заполняющей рабочее пространство. Пусть среда, разделяющая поверхности, излучает и поглощает энергию (рассеянием энергии пренебрегаем, так как твёрдые частицы, взвешенные в газовой фазе, встречаются лишь в рабочем пространстве плавильных, например мартеновских, печах). В этом случае состояние системы характеризуется следующими переменными: температурным полем T(N), К, и полем тепловыделений q^V(N), Вт/м³, в газе (N – точка газового объёма); температурным полем T(M), К, и распределением плотности результирующего излучения E_рез(M), Вт/м², на ограничивающей поверхности (M – точка поверхности). Пусть ограничивающая газовый объём поверхность разбита на m зон, площади которых равны F_i (i = 1, 2, . . . , m). Для этих зон справедливы все те условия разбиения, которые мы рассматривали ранее, за одним исключением: для них должны задаваться спектральные радиационные характеристики, так как спектр излучения газов дискретный. В соответствии с идеологией зонального метода для каждой i-той поверхностной зоны должны выполняться условия

a_i = _i = const, T_i = const, F_i = const, 1  i  m. (3.89)

В силу указанной особенности основной характеристикой излучения поверхностей I рода будет спектральная плотность потока собственного излучения E_{соб i}, причём E_{соб i} = _iE_0i, где спектральная плотность собственного излучения абсолютно чёрного тела E_0i определяется законом Планка. Из условия постоянства температуры T_i в каждой зоне вытекает и постоянство спектрального потока собственного излучения

Q_{соб i} = E_{соб i} F_i = _i E_0i F_i = const, 1  i  m. (3.90)

Газовый объём разобьём на n зон, объёмы которых равны V_i, а площади ограничивающих поверхностей (в большинстве условных) - F_i, i = m + 1, m + 2, …, l (l = = m + n – общее число зон). В пределах каждой из этих объёмных зон постоянными являются температура газа и спектральный коэффициент поглощения

T_i = const, k_i = const, m + 1  i  l. (3.91)

Величины (3.91) являются характеристиками объёмного излучения газа, в частности, коэффициент поглощения k_i определяет объёмную спектральную плотность потока собственного излучения газа при температуре T_i

_i = 4k_i E_0i, (3.92)

а также спектральный поток собственного излучения i-той объёмной зоны

Q_{соб i} = _i V_i _i, (3.93)

где _i – коэффициент использования излучающего объёма.

Различие способов описания излучения поверхностных и объёмных зон создаёт значительные неудобства для реализации зонального метода, отличительной особенностью которого является единообразие и универсальность. Поэтому желательно описать свойства объёмных зон таким образом, чтобы от коэффициентов поглощения k_i перейти к величинам a_i и _i, характеризующих излучение твёрдых непрозрачных поверхностей. С этой целью условимся считать, что участие в теплообмене принимает не сам газ, находящийся в объёмной зоне, а ограничивающая его воображаемая поверхность. Этой поверхности необходимо приписать определённую температуру и радиационные свойства таким образом, чтобы её излучение было эквивалентно излучению газового объёма.

Примем температуру поверхности i-той объёмной зоны равной температуре газа T_i, заменим тепловыделение в объёмной зоне Q^V потоком результирующего излучения через поверхность F_i Q_{рез i} =  Q_i^V (знак "минус" показывает, что отрицательным считается результирующий поток, направленный от поверхности теплообмена) и введём спектральную поглощательную способность поверхности объёмной зоны, равную спектральной поглощательной способности газового объёма

a_i = (3.94)

где  эффективная длина луча для i-той объёмной зоны, определяемая по формуле А.С. Невского,

= 3,6 V_i /F_i. (3.95)

В соответствии с законом Кирхгофа a_i = _i, поэтому для спектрального потока собственного излучения объёмной зоны (3.93) можно записать выражение (3.90)

Q_{соб i} = _i E_0i F_i = const.

Нетрудно показать, что принятые допущения не искажают потока излучения газового объёма. В самом деле, из особенностей излучения газов известно, что для них _ << 1. Но это означает, что и k_S^эф << 1 и экспоненту в (3.94) можно разложить в ряд Тейлора, ограничившись линейными слагаемыми. В этом случае

a_i = _i  1 – (1  k_iS_i^эф) = k_iS_i^эф.

Приравнивая (3.90) и (3.93), с учётом (3.95) получаем

4k_i E_0iV_i _i =k_iS_i^эф E_0i F_i = 3,6 k_i E_0iV_i F_i/F_i,

т.е. _i = 3,6/4 = 0,9 – это значение мы и указывали ранее для формулы А.С. Невского.

Последний этап организации зонального метода заключается в переходе к интегральным характеристикам и в тщательном учёте поглощения излучения газом. В соответствии с определениями потоков можно записать

(3.96)

или Q_{соб i} = _i Q_0i, где Q_0i = ₀T_i⁴F_i, а интегральная степень черноты описывается выражением

(3.97)

Аналогичным образом имеем

или

Q_{погл i} = a_i Q_{пад i}, (3.98)

где интегральная поглощательная способность

(3.99)

Для поверхностных зон при использовании интегральных характеристик сохраняются все соотношения между потоками, которые мы записывали ранее. Однако изменяется содержание потока падающего излучения. Поскольку излучение теперь проходит через поглощающую среду, то эта величина определяется уже не угловыми коэффициентами излучения с j-тых поверхностей на i-тую (т.е. _ji), а обобщёнными угловыми коэффициентами _ji, причём

(3.100)

где k – средний коэффициент поглощения на пути S_ji.

Газ не отражает излучения, поэтому для объёмных зон мы можем записать лишь следующие соотношения:

Q_{эф i} = Q_{соб i} , m + 1  i  l; (3.101)

Q_{рез i} = Q_{погл i}  Q_{соб i} . (3.102)

Иными словами, полного подобия объёмных и поверхностных зон добиться не удаётся.

Перейдём теперь к формулировке системы зональных уравнений. Будем считать, что в системе имеется:

m₁ поверхностных зон I рода (1  i  m₁);

m₂ = m – m₁ поверхностных зон II рода (m₁ + 1  i  m);

n₁ объёмных зон I рода (m + 1  i  m + n₁);

n₂ = n – n₁ объёмных зон II рода (m + n₁ + 1  i  l),

где l = m + n. Запишем уравнения, определяющие значения эффективных потоков, отдельно для поверхностных и объёмных зон I и II рода. Для поверхностных зон I рода имеем

(3.103)

Для поверхностных зон II рода

(3.104)

Для объёмных зон I рода

(3.105)

Для объёмных зон II рода

(3.106)

Таким образом, выражения (3.103) – (3.106) образуют систему l уравнений относительно l неизвестных эффективных потоков Q_{эф i}. Решив эту систему и найдя значения эффективных потоков для всех зон, можно найти и все интересующие нас потоки. Например, для поверхностных зон I рода (1  i  m₁) имеем

(3.107)

или лучше

(3.107,а)

Для поверхностных зон II рода (m₁ + 1  i  m)

(3.108)

для объёмных зон I рода (m + 1  i  m + n₁)

(3.109)

и для объёмных зон II рода (m + n₁ + 1  i  l)

(3.110)

В отличие от случая диатермичной среды, система (3.103) – (3.106) при наличии объёмных зон II рода в целом нелинейная, так как коэффициент поглощения газа, а, следовательно, поглощательные способности, степени черноты объёмных зон и обобщённые угловые коэффициенты излучения весьма существенно зависят от температуры. Поэтому для решения задачи приходится применять метод итераций, используя в качестве начальных приближений некоторые исходные значения коэффициентов поглощения в пределах этих зон. Решив задачу и определив температуры объёмных зон II рода по (3.110), нужно пересчитать коэффициенты поглощения по найденным температурам, при необходимости провести повторное решение задачи и т.д.