Зональный метод расчёта для диатермичной среды

Основой зонального метода является представление, например, рабочего пространства печи некоторой замкнутой системой, состоящей из конечного числа геометрических зон. Естественно, чем больше зон, тем выше точность результатов решения задачи. В пределах каждой зоны обычно принимаются неизменными температура (результирующие потоки при обратной постановке) и радиационные характеристики.

При фундаментальной постановке задачи, когда замкнутая система состоит из n геометрических зон (поверхностей I-го рода) и заполнена диатермичной средой, зональный метод базируется при расчёте потоков эффективного излучения на формуле (3.69). Для i-той зоны

(3.70)

т.е. при Q_соб = _i₀T_i⁴F_i получаем систему n уравнений с n неизвестными потоками эффективного излучения Q_эф. После их определения могут быть найдены потоки результирующего излучения

(3.71)

и все другие необходимые потоки излучения.

При обратной постановке задачи уравнения системы зональных уравнений строятся по типу уравнения (3.66):

(3.72)

Определив потоки эффективного излучения, на основании формулы (3.68) можно найти температуры зон

(3.73)

При смешанной постановке задачи для n₁ зон, в которых заданы температуры и степени черноты, потоки эффективного излучения находятся из уравнений

(3.74)

Для n₂ = n – n₁ зон второго рода, в которых, наоборот, требуется найти температуры по величинам результирующих потоков, имеем

(3.75)

На основе решения системы (3.74), (3.75) по (3.71) вычисляют потоки результирующего излучения, а по (3.73) – температуры.

Отметим, что в данном случае все системы [(3.70), (3.72), (3.74) и (3.75)] линейны относительно Q_эф, поэтому для их решения можно использовать не только метод исключения Гаусса, но и метод обращения матрицы. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Запишем систему уравнений (3.70) в виде

(3.76)

где

K_ij = [_ij – (1 _i) _ij]/_i; _i = _i ₀T_i⁴F_i, (3.77)

а _ij – символ Кронекера, определяемый условием

Матрица коэффициентов [K] не зависит от вектора потоков эффективного излучения {Q_эф} и слабо зависит от температур. В реальных условиях теплотехнических расчётов информация о зависимостях _i = f(T_i) практически всегда отсутствует, а если и имеется, то весьма ненадёжна. Поэтому матрицу [K] можно считать лишь один раз или, по крайней мере, пересчитывать крайне редко.

Матричная форма записи (3.76) имеет вид

[K]{Q_эф} = {}, (3.76,a)

где [K] – квадратная матрица размером nn, а {Q_эф} и {} – вектор-столбцы n1. Умножим (3.76,а) слева на обратную матрицу [K]^-1

[K]^-1[K]{Q_эф} = [K]^-1{}.

Но [K]^-1[K] = [I], где [I] – единичная матрица. Тогда

{Q_эф} = [K]^-1{} = [B]{}, (3.78)

где [B] = [K]^-1, или в индексных обозначениях

(3.78,а)

Обратная матрица [B] = [K]^-1 легко вычисляется на ЭВМ, и, как уже отмечалось ранее, делать это надо один только раз (или крайне редко). Таким образом, при данном подходе потоки эффективного излучения находятся путём выполнения простой матричной операции – перемножения матрицы и вектора.

Подставив выражение (3.78,а) в соотношение (3.71), получим уравнение для потоков результирующего излучения

(3.79)

Интересно отметить, что согласно (3.79) поток результирующего излучения i-той поверхности является взвешенным с весами (B_ij  _ij)/(1 _i) суммарным потоком собственного излучения поверхностей всей системы.

Матричный метод решения применим и при смешанной постановке задачи. В этом случае изменяется лишь содержание матрицы коэффициентов [K] и вектора {}. Для n₁ поверхностей I рода остаются справедливыми соотношения (3.77), а для n₂ = n – n₁ поверхностей II рода [при n₁ + 1  i  n] должно быть

K_ij = _ij  _ij, _i =  Q_{рез i}. (3.80)

Тогда при использовании метода обращения матрицы все значения Q_{эф i} можно найти из единой системы уравнений

(3.81)

которая справедлива для всех поверхностей вне зависимости от их рода. Имея значения Q_{эф i}, соответствующие неизвестные для каждой группы поверхностей определяются по уравнениям

(3.82)

(3.83)

Изложенный подход к расчёту теплообмена излучением имеет три недостатка. Во-первых, он применим только к теплоэнергетическим агрегатам, рабочее пространство которых заполнено диатермичной (лучепрозрачной) средой. Во-вторых, совершенно очевидно, что имеются системы, которые сложно разделить на изотермические поверхности конечной площади (см., например, рис. 3.8). И, наконец, в третьих, в данном случае мы выполняем, по сути дела, лишнюю работу, так как практический интерес представляют температура T_i и потоки результирующего излучения Q_{рез i}, а приходится определять сначала Q_{эф i}. Будем последовательно компенсировать эти недостатки.

Рис. 3.8. Замкнутая система из n поверхностей, часть из которых неизотермична

Начнём со второго недостатка. Пусть мы не можем считать поверхности F_i и F_j изотермическими. Выделим тогда на них бесконечно малые элементы dF_i и dF_j. Местоположение этих площадок в пространстве определяется соответствующими радиус-векторами r_i и r_j, проведёнными из любого произвольного центра координат.

Обозначим через E_{эф i}(r_i) локальное значение плотности потока эффективного излучения элемента dF_i поверхности F_i. Эта величина определяется как сумма плотностей потока собственного излучения E_собi(r_i) и отражённого излучения E_{отр i}(r_i) = (1  _i)E_{пад i} (r_i)

(3.84)

Элементарная площадка dF_j поверхности F_j посылает на элементарную площадку dF_i поверхности F_i излучение или на единицу площади площадки dF_i  По свойству взаимности элементарных угловых коэффициентов отсюда со всей поверхности F_j посылается

Аналогичное излучение падает также со стороны всех остальных поверхностей системы. В итоге суммарная плотность падающего излучения составит

(3.85)

где

(3.86)

Функция K(r_i, r_j) является конечной величиной, которая зависит только от положения и ориентации элементов dF_i и dF_j. Подставив (3.85) в (3.84), получаем

(3.87)

Если для всех поверхностей системы заданы распределения температур, то уравнение (3.87) при последовательном применении к каждой поверхности образует систему n линейных интегральных уравнений для n неизвестных E_{эф 1}(r₁), E_{эф 2}(r₂), …, E_{эф n}(r_n). На методах решения таких уравнений мы сейчас останавливаться не будем. После отыскания распределения плотностей потоков эффективного излучения по различным поверхностям системы, можно определить соответствующие плотности потоков результирующего излучения. Для этого пригодны ранее записанные выражения, в частности,

(3.88)

Переход к варианту поверхностей II рода выполняется аналогично и не вызывает затруднений, поэтому здесь не приводится.