3.2. Оптико-геометрические характеристики

При расчёте теплообмена излучением между поверхностями для каждой из поверхностей необходимо полностью учитывать всё падающее на неё излучение, исходящее со всех возможных направлений в пространстве. Чтобы быть уверенным, что полностью учитывается всё падающее на каждую поверхность излучение, рассматриваемая совокупность поверхностей должна образовывать замкнутую систему. В этой системе для каждой из поверхностей задаются её температура и радиационные характеристики. Систему материальных поверхностей можно условно замкнуть, дополнив её одной или несколькими воображаемыми поверхностями. Для каждой из таких условных поверхностей также задаются её эффективные радиационные характеристики и эквивалентная температура абсолютно чёрного тела, соответствующая условиям переноса энергии излучения через эту поверхность.

При всех расчётах теплообмена излучением важную роль играет геометрия системы. Она учитывается введением угловых коэффициентов излучения, которые часто называются также коэффициентами облученности. Угловой коэффициент определяет долю диффузно распределённой энергии излучения, которое передаётся с одной поверхности на другую. Физический смысл этого понятия выясняется из анализа теплообмена в системе двух серых невогнутых тел, расположенных в пространстве таким образом, что они "видят" друг друга (рис. 3.2). Площади поверхности тел F₁ и F₂, а их температуры – T₁ и T₂. Предполагается, что излучающее тело обладает изотропным излучением и отражением, а разделяющая среда  лучепрозрачна. Выделенный элемент поверхности dF₁ излучает по всем направлениям поток эффективного излучения dQ₁ = E₁dF₁, из которого в соответствии с законом Ламберта на элемент dF₂ попадает только часть, равная

(3.42)

Напомним, что E_1n = E₁/, а телесный угол по определению равен

(3.43)

где r_1-2 = r_2-1 – расстояние между рассматриваемыми элементами. С учётом этих соотношений

(3.44)

Величина

(3.45)

получила название элементарного углового коэффициента излучения. Как можно видеть, она представляет собой отношение потока излучения элементарной площадки dF₁, падающего на элементарную площадку dF₂, к потоку полусферического излучения излучающей элементарной площадки.

Если поток излучения с площадки dF₁ на конечную площадку F₂ отнести к потоку полусферического излучения элементарной площадки dF₁, то полученное отношение будет локальным угловым коэффициентом излучения:

(3.46)

Средний угловой коэффициент излучения или средний коэффициент облученности равен отношению потока излучения всей поверхности F₁, падающего на поверхность конечного размера F₂, к потоку полусферического излучения поверхности F₁ или

(3.47)

Таким же образом может быть найден средний угловой коэффициент излучения с поверхности F₂ на поверхность F₁

₂₁ = (3.48)

Из последних выражений следует, что ₁₂F₁ = H и ₂₁F₂ = H, так как величина двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования. Величина H получила название взаимной излучающей пары поверхностей.

Заметим, что при вогнутых излучающих поверхностях часть потока излучения такой поверхности падает на саму себя. В соответствии с этим введено понятие углового коэффициента излучения поверхности на самое себя _ii.

Приведённые оптико-геометрические характеристики обладают рядом свойств, важнейшими из которых являются:

• свойство взаимности

_ijF_i = _jiF_j (3.49)

следует из постоянства взаимной излучающей пары поверхностей H = const. Физическая сущность этого свойства заключается в том, что, например, в условиях локального термодинамического состояния каждое тело излучает ровно такое количество энергии, какое поглощает.

• свойство замкнутости

, (3.50)

т.е. сумма угловых коэффициентов излучения с i-той поверхности на все окружающие её поверхности системы и на саму себя равно единице. Сущность этого свойства становится очевидным, если выражение (3.50) переписать в виде

• свойство аддитивности

(3.51)

заключается в том, что угловой коэффициент излучения _ik с поверхности i на сложную поверхность, состоящую из n отдельных частей, равна сумме угловых коэффициентов с поверхности i на каждую k_j-тую поверхность.

• свойство невогнутости _ii = 0 указывает на то, что плоское или выгнутое тело не может излучать само на себя.

Выше было рассмотрено излучение тела F_i , которое непосредственно попадает на поверхность F_j . Однако, если эти тела окружены другими серыми телами, входящими в систему, то излучение F_i может попасть на F_j как непосредственно, так и после отражения от поверхностей F_k . Отношение суммарного потока излучения тела F_i , достигающего площадки F_j различными путями к потоку полусферического собственного излучения тела F_i характеризует разрешающий угловой коэффициент излучения _ij. В соответствии со смыслом определения этот коэффициент определяется по выражению

(3.52)

Потоки излучения в системе нескольких тел могут существенно изменяться, если твёрдые поверхности разделены поглощающей и излучающей средой. В простейшем случае системы из двух поверхностей (см. рис. 3.2) в отличие от предыдущего примем, что между телами находится среда с коэффициентом ослабления  одинакового для всего объёма системы. В остальном условия теплообмена излучением в этой системе сохраняются прежними. Наличие ослабляющей среды приводит к тому, что при движении потока излучения часть его энергии будет в соответствии с законом Бугера теряться в среде на пути r_1-2. Согласно закону Ламберта в этом случае можно записать

или с учётом значений плотности потока излучения в нормальном направлении и телесного угла

(3.53)

откуда следует

(3.54)

Полученная оптико-геометрическая характеристика называется элементарным обобщённым угловым коэффициентом излучения. Проводя последовательно интегрирование по поверхности F₂, а затем и F₁, получим соответственно локальные и средние обобщенные коэффициенты излучения и ₁₂. Для этих коэффициентов также имеются общие правила, напоминающие свойства угловых коэффициентов. В частности, здесь остаётся справедливым свойство взаимности обобщённых угловых коэффициентов ₁₂F₁ = ₂₁F₂. Однако свойство замкнутости в данном случае имеет особенности, связанные с поглощением излучения средой. Если в системе имеется m твёрдых поверхностей и n газовых объёмов (m + n = l), то свойство замкнутости отобразится уравнением

(3.55)

Каждое слагаемое _ija_j при j = m+1,  , l выражает долю эффективного излучения i – той зоны, поглощаемую в j-той объёмной зоне, поэтому сумма представляет собой поглощательную способность газа для эффективного излучения i-той зоны. Таким образом

(3.56)

а это соотношение имеет ясный физический смысл, вытекающий из закона сохранения энергии: Сумма обобщённых угловых коэффициентов по всем поверхностным зонам равна пропускательной способности газа. При отсутствии поглощения излучения газом a_r(i) = 0, и из соотношения (3.56) получим обычное выражение свойства замкнутости для угловых коэффициентов излучения _ij в диатермичной среде

Самым общим случаем угловых коэффициентов являются разрешающие обобщённые угловые коэффициенты _ij, являющиеся обобщением разрешающих угловых коэффициентов _ij и определяемые по выражению

(3.57)

т.е. поток собственного излучения i-той зоны, попадающий на j-тую зону, складывается из доли этого излучения, достигающей j-той зоны непосредственно, а также суммарной доли после отражения от поверхности всевозможных k-тых зон. Напомним, что для объёмных зон r_k = 0, и суммирование в (3.57) производится лишь по поверхностным зонам.

Коэффициенты _ij характеризуются свойством замыкаемости

(3.58)

и свойствами взаимности

(3.59)

Определение оптико-геометрических характеристик по приведённым выше формулам связано со значительными трудностями, особенно если иметь в виду разнообразие по размерам, формам, положению в пространстве поверхностей, составляющих систему тел, в которой осуществляется теплообмен излучением. Правда применение современных ПЭВМ в совокупности с имеющимися коммерческими программными пакетами (Maple, MathCAD, MATLAB и др.) позволяет их преодолеть. Для относительно простых систем (как правило, двухмерного типа) угловые коэффициенты могут быть найдены с помощью алгебры угловых коэффициентов.

В качестве примера использования алгебры угловых коэффициентов рассмотрим следующие два варианта систем. В первом из них система замкнута и состоит из трёх невогнутых поверхностей (рис. 3.6). В соответствии со свойством замкнутости угловых коэффициентов можно записать систему трёх уравнений (по числу поверхностей):

₁₁ + ₁₂ + ₁₃ = 1;

₂₁ + ₂₂ + ₂₃ = 1;

₃₁ + ₃₂ + ₃₃ = 1.

Рис. 3.6. Простейшая схема излучающих тел

В этих уравнениях 9 неизвестных угловых коэффициентов, которые подлежат определению. Для выпуклых тел самооблучение отсутствует. Поэтому, используя свойство невогнутости, будем иметь

₁₁ = ₂₂ = ₃₃ = 0.

В результате число неизвестных сокращается до 6. Недостающие 3 уравнения записываются на основе свойства взаимности

₁₂F₁ = ₂₁F₂; ₁₃F₁ = ₃₁F₃; ₂₃F₂ = ₃₁F₃.

Решение этой системы уравнений даёт

(3.60)

или в общем случае

(3.60,а)

В незамкнутой системе при определении  целесообразно замкнуть её дополнительными поверхностями так, чтобы они не загораживали заданные поверхности друг от друга. Такой подход, предложенный Г.Л. Поляком, позволил ему создать метод "натянутых нитей" весьма удобный при отыскании угловых коэффициентов излучения для незамкнутых систем двух тел. Для случая, представленного на рис. 3.7, такими дополнительными поверхностями являются АС и BD. Из свойства замкнутости угловых коэффициентов вытекает:

₁₂ + _{1 ВD} + _{1 АС} = 1. (3.61)

Рис. 3.7. К выводу правила "натянутых нитей"

Далее на основании предыдущего решения (3.60) можно записать

(3.62)

Тогда

(3.63)

или взаимная поверхность пары тел

H₁₂ = ₁₂F₁ = ½(F_AD + F_BC) – ½(F_BD + F_AC), (3.64)

откуда следует, что "взаимная поверхность пары произвольно расположенных тел равна полусумме внутренних нитей (F_AD + F_BC) за вычетом полусуммы внешних нитей (F_BD + F_AC)".