Введение

Изучая различные дисциплины с разной степенью детализации, вы освоили четыре курса: гидромеханику, термодинамику, теплообмен и массообмен. В дисциплине "Дифференциальные уравнения и численные методы" (или, по-новому, "Программные средства решения инженерных задач") мы попытались со студентами-информатиками выявить общую философскую (и термодинамическую) основу этих четырёх областей знания и научиться математически формулировать реальные физические и технологические задачи. Теплофизики могут ознакомиться с этим подходом по электронной версии данного курса. Как бы там ни было, все уравнения переноса упомянутых областей знаний вам известны, и на их обосновании я останавливаться не буду. Однако имеется две особенности использования этих уравнений, которые требуют специального рассмотрения. С первой из них вы сталкивались частично на лабораторных работах, вторая вообще не изучалась в студенческих дисциплинах. Вот рассмотрение этих особенностей и составит содержание наших первых лекций.

Замечу, что в плане изучения этих особенностей полезными будут книги:

1. Слеттери Дж. С. Теория переноса импульса, энергии и массы в сплошных средах: Пер. с англ. – М.: Энергия, 1978. – 448 с.

2. Лыков А. В. Тепломассообмен (справочник) - М.: Энергия, 1971 – Раздел пятый. – Стр. 338 – 467

Особенно рекомендовал бы первую из них, так как она написана современным языком в тензорных обозначениях.

1. Усреднение по площади

Большая часть инженерных задач не требует, чтобы распределение скорости сплошной среды было задано полностью. Обычно имеют дело с оценкой некоторых общих аспектов задачи, например, объёмного расхода жидкости или силы, действующей на стенку.

Когда зависимости распределения скорости от направлений, перпендикулярных общему направлению течения, не представляют особого интереса целесообразно проводить усреднение уравнений движения по площади поперечного сечения, перпендикулярного потоку. Это приводит к значительному упрощению задачи. Поэтому такое усреднение особенно полезно, когда решение задачи требует значительных затрат времени и средств. В каждом конкретном случае необходимо чётко представлять себе требования поставленной задачи. Если погрешность решения не должна превышать 1 %, то уравнения движения необходимо решать полностью. Если же допустима погрешность 10 – 15 %, то можно использовать метод интегрального усреднения, например, по площади.

При использовании любого из методов интегрального усреднения теряется некоторая информация и поэтому необходимо использовать эмпирические соотношения или приближения. Изучая особенности турбулентного течения мы установили, что усреднение по времени требует привлечения эмпирических соотношений или полуаналитических приближений для тензора напряжений Рейнольдса В случае усреднения по площади эмпирические соотношения вводятся двумя способами.

В задачах первого типа (§1.1) мы, прежде всего, имеем дело с переменной, усреднённой по площади, например, объёмным расходом. Обычно приближение делается относительно силы на единицу площади поверхности или напряжения на ограничивающей стенке.

Задачи другого, более сложного, типа часто называют приближённой теорией пограничного слоя. В этой теории распределение скорости имеет вид зависимости от длины дуги x, т.е. (x). Эта функция часто называется приближённой толщиной пограничного слоя. Этот подход мы рассмотрим в §1.2.

1.1. Течение жидкости в круглой трубе из состояния покоя

Для несжимаемой ньютоновской жидкости легко получить точное решение. Пусть имеет вид, представленный на рис. 1.1. В цилиндрической системе координат, ось которой совпадает с осью трубы, на стенке трубы со стороны жидкости действуют на единицу площади поверхности компоненты тензора напряжений _rr, равные с обратным знаком гидростатическому давлению. Следовательно, если на участке трубы длиной L задать перепад давлений P = P_L – P₀, то этот перепад немедленно порождает градиент давления  d(P + gh)/dz во всей жидкости и жидкость приходит в движение (h – расстояние от поверхности земли, g – ускорение свободного падения).

Для несжимаемой ньютоновской жидкости течение будет осесимметричным и, по крайней мере поначалу, ламинарным. Но тогда из трёх компонентов скорости отличным от нуля будет только один:

v_r = v_ = 0, v_z = v_z(r, z). (1.1)

Следовательно, уравнение движения, которому удовлетворяет компонента v_z вдоль оси трубы, имеет вид

(1.2)

Учитывая несжимаемость жидкости, из уравнения неразрывности

(1.3)

получаем: v_z /z = 0 или v_z = v_z(r).

Поскольку на стенках трубы скорость потока равна нулю вследствие условия прилипания, то отсюда вытекает симметричность профиля скорости.

Из того обстоятельства, что существует лишь один отличный от нуля компонент скорости, вытекает, во-первых, что имеются единственные отличные от нуля компоненты дополнительных напряжений _rz = _zr:

(1.4)

Из уравнения движения также вытекает, что помимо (1.2) значимыми являются составляющие уравнений движения

(1.5)

Эти уравнения означают, что p + gh зависит только от z. Однако в правой части (1.2) изменение развивается только по радиусу r. Это возможно лишь в том случае, если

(1.6)

Тогда для несжимаемой жидкости

(1.7)

В стационарном случае, когда v_z /t = 0, из (1.2) имеем

(1.8)

или

(1.9)

Здесь R – радиус трубы. Можно заметить, что это уравнение подтверждает предположение о симметричности профиля скорости.

Скорость жидкости на оси трубы равна

(1.10)

а объёмный расход Q равен

(1.11)

Вернёмся к нестационарной задаче. Обозначим компонент скорости (1.9) через

Будем искать не саму скорость, а поправку скорости на нестационарность

W =  v_z (r, t) =

или

Тогда вместо уравнения (1.2) получим

(1.12)

с краевыми условиями

(1.13)

Задача (1.12) – (1.13) легко решается хорошо известным нам методом разделения переменных. Представим искомую функцию W(r, t) в виде произведения двух одномерных функций

W(r, t) = R₁(r)T(t). (1.14)

Подставив (1.14) в (1.12), после несложных преобразований находим

 = /.

Это равенство может выполняться лишь в том случае, когда обе его части по отдельности равны одному и тому же постоянному числу: обозначим его через ².

Тогда единое уравнение (1.12) распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения

(1.15)

и

или

(1.16)

Решение уравнения (1.15) легко находится

где C – постоянная интегрирования.

Уравнение (1.16) известно из курса высшей математики как уравнение Бесселя; его решение

R₁(r) = DJ₀(r),

где D – постоянная интегрирования, а J₀(x) – функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Используя краевое условие r = R W = 0 или r = R R₁(R) = 0, получаем характеристическое уравнение для отыскания :

J₀(R) = J₀() = 0,  = R.

Это уравнение имеет бесчисленное множество корней; ниже представлены первые 10 из них. Последующие корни можно найти по соотношению _n+1 = _n + .

n	1	2	3	4	5
n	2,4048	5,5201	8,6537	11,7915	14,9309
n	6	7	8	9	10
n	18,0711	21,2116	24,3525	27,4935	30,6346

Таким образом, общее решение уравнения (1.12) имеет вид

Здесь A_n = CD_n. При t = 0 согласно начальному условию имеем

Это ряд Фурье – Бесселя. Его коэффициенты равны

Тогда окончательное распределение скорости потока выразится формулой

v_z(r, t) = (1.17)

Распределение скорости по поперечному сечению трубы, рассчитанное по этому уравнению, представлено на рис. 1.2.

Расход среды равен

(1.18)

Изменение скорости, выраженной в долях от максимального значения установившегося профиля, во времени также представлено на рис. 1.2. Можно видеть, что стабилизированный режим течения устанавливается уже при

Рис. 1.2. Течение на начальном участке круглой трубы: 1 - 2 – 0,05; 3 – 0,1; 4 – 0,2; 5 – 0,4; 6 – 0,75; 7 – 10

Как следует из формул, а также данных рисунков, вначале вся жидкость имеет ускорение a_z = =  A/. Однако, по мере того, как скорость возрастает, тормозящее влияние стенок распространяется всё дальше внутрь жидкости. Центральная часть потока, скорость которой возрастает во времени как  A t/, сужается до тех пор, пока при t порядка ₁ = 2,04048, влияние стенки не распространится на всю жидкость, и скорость на оси трубы не перестанет расти.

Представляет интерес оценка этого характерного времени. При комнатной температуре для чистого сухого воздуха и для чистой воды имеем соответственно  = = 0,1510^-4 м²/с и  = 1,00410^-6 м²/с. Если радиус трубы равен 0,1 м, то для воздуха

для воды

Как видим, для несжимаемой ньютоновской жидкости решение относительно простое, хотя и громоздкое. Но что делать, когда жидкость несжимаемая, но степенная (т.е. неньютоновская)? Нас по-прежнему интересует зависимость для расхода, и здесь всё ещё справедливо уравнение (1.2), но при определении средней скорости по формуле

Из уравнения (1.2) получаем

(1.19)

Здесь возникает определённая трудность. Напряжение сдвига _rz на стенке трубы заранее неизвестно. При усреднении теряется часть информации. Чтобы определить напряжение сдвига на стенке необходимо либо эмпирическое соотношение, либо какое-нибудь приближение. Проще всего предположить, что соотношение между напряжением сдвига на стенке и средней скоростью в трубе соответствует найденному ранее закону Пуазейля (1.11)

Тогда имеем

(1.20)

откуда при начальном условии t = 0, v_z = 0 получаем

(1.21)

Видно, что по структуре выражение (1.21) совпадает с уравнением (1.18), однако вместо суммы мы имеем одно слагаемое. Это также экпоненциальное слагаемое, т.е. тренды совпадают. Конечно же, выражение (1.21) содержит погрешность, так как при его получении использовалось касательное напряжение на стенке для другой жидкости. Как можно видеть из данных рис. 1.3, максимальная погрешность составляет  15 %. Средняя погрешность существенно ниже.

Рис. 1.3. Сопоставление точного (сплошная линия) и приближённого (пунктир) решений: x = t /R²