Задача 2

Предприятию требуется перевезти товары с двух складов S1, S2 в три магазина M1,M2,M3. Данные о запасе товара на складах, спрос на него в магазинах, а также стоимости перевозки тыс.шт. товара со складов в магазины приведены в таблице 1. Составить такой план перевозки товаров, при котором затраты на перевозку будут минимальными. Транспортировка товаров возможна с любого склада в любой магазин.

Таблица 1 (№9)

Наличие товара на складах		Спрос на товары в магазинах
		М1	М2	М3
		75	110	55
S1	90	6	14	8
S2	150	12	10	16

Построение математической модели

На основе данных из таблицы 1 построим вспомогательную таблицу 2

Таблица 2

Наличие товара на складах		Спрос на товары в магазинах
		М1	М2	М3
		75	110	55
S1	90	Х11 6	Х12 14	Х13 8
S2	150	Х21 12	Х22 10	Х23 16

В силу ограничений на наличие товара на складах и спрос на него в магазинах должны выполняться следующие условия:

Общая стоимость перевозки

Условие баланса

Определение допустимого решения методом наименьшей стоимости

Таблица 3

Наличие товара на складах		Спрос на товары в магазинах
		М1	М2	М3
		75 0	110 0	55 40 0
S1	90 15 0	6	14	8
		75	---------	15
S2	150 40 0	12	10	16
		-------	110	40

Определим клетку таблицы 3 которой соответствует наименьшая стоимость перевозки. Такой клеткой является С₁₁ = 6. Запишем в неё значение перевозки.

Так как все строки и столбцы оказались закрыты, базисный план найден. Этому плану соответствует стоимость перевозки:

Таблица 4

Наличие товара на складах		Спрос на товары в магазинах
		М1	М2	М3
		75	110	55
S1	90	6	14	8
		75		15
S2	150	12	10	16
			110	40

Последовательное улучшение допустимого решения методом потенциалов

Выберем вспомогательные переменные и ( ), обращающие в нули коэффициенты при базисных переменных, то есть

Такие переменные называются потенциалами. Введём для записи потенциалов вспомогательную строку и столбец в таблице 6.

Для данной задачи m+n-1=4 (m – число строк, n – число столбцов), и число занятых клеток равно 4. Следовательно решение является невырожденным.

Таблица 5

Наличие товара на складах		Спрос на товары в магазинах
		М1	М2	М3
		75	110	55
S1	90	6	14	8
		75		15
S2	150	12	10	16
			110	40

Составим потенциальные уравнения для заполненных клеток:

Для всех небазисных переменных, т.е. для пустых клеток, определим невязки

Так как имеются отрицательные невязки , найденный план не оптимален найдем новое базисное решение.

Новое базисное решение.

Для определения нового базисного решения вводится переменная (назначается перевозка) в ту клетку транспортной таблицы, которой соответствует отрицательная невязка.

Таблица 6

Наличие товара на складах		Спрос на товары в магазинах
		М1	М2	М3
		75	110	55
S1	90	6	14	8
		75 -		15 +
S2	150	12	10	16
		+	110	40 -

Таблица 7

Наличие товара на складах		Спрос на товары в магазинах
		М1	М2	М3
		75	110	55
S1	90	6	14	8
		35		55
S2	150	12	10	16
		40	110

Определим стоимость перевозки

Для данной задачи m+n-1=4 (m – число строк, n – число столбцов), и число занятых клеток равно 4. Следовательно решение является невырожденным.

Составим потенциальные уравнения для заполненных клеток:

Для всех небазисных переменных, т.е. для пустых клеток, определим невязки

Отрицательных невязок нет, поэтому найденный план оптимален.

Ответ: минимальная стоимость перевозок Z = 2230 и достигается она при значениях перевозок: x₁₁ = 35, x₁₃ = 55, x₂₁ = 41, x₂₂ = 110.