Зм 3. Економетричні моделі

Лабораторна робота 4. Лінійна регресія

Мета. Навчитись використовувати методи прогнозної екстраполяції для розрахунку прогнозного значення часового ряду

Короткі теоретичні відомості

Математична модель об’єкта (процесу, явища) містить у собі три групи елементів:

1. характеристику об’єкта, який потрібно визначити (невідомі величини) – вектор Y=(y_i);

2. характеристики зовнішніх умов, які змінюються – вектор X=(x_i);

3. сукупність внутрішніх параметрів об’єкта – А.

Структурні моделі характеризують внутрішню організацію об’єкта: його складові частини, внутрішні параметри, їх зв’язок з результативною і факторною ознакою.

Функціональні моделі формулюють сутність об’єкта через найважливіші прояви цієї сутності: діяльність, функціонування, поведінку

Економетрична модель – це функція чи система функцій, що описує кореляційно-регресійний зв’язок між економічними показниками, один чи кілька з яких є залежною (екзогенною) змінною, інші – незалежними (ендогенними).

Загальний вигляд економетричної моделі:

,

де х – факторні економічні показники (регресори); е – випадкова або стохастична величина.

Етапи побудови економетричних моделей

Сукупність спостережень:

• Динамічний ряд – послідовність спостережень за процесом або явищем у рівновіддалені проміжки часу.

• Варіаційний ряд – послідовність, що характеризує кількісну міру певної ознаки у різних об’єктів сукупності. Вони є дискретними та варіантними.

• Динамічно-варіаційним рядом є комбінація динамічного та варіаційного рядів.

Для того, щоб побудувати економетричну модель, необхідно:

• мати достатньо велику сукупність спостережень даних;

• забезпечити однорідність сукупності спостережень;

• забезпечити точність вхідних даних.

Парна лінійна регресія (плр)

Прості лінійні регресійні моделі встановлюють лінійну залежність між двома змінними. При цьому одна із змінних вважається залежною (екзогенною) змінною (y) та розглядається як функція від незалежної (ендогенної) змінної (x).

Загальний вигляд:

,

де – вектор спостережень за залежною величиною;

– вектор спостережень за незалежною величиною;

b₀ , b₁ – параметри регресійної моделі;

– вектор випадкових величин (похибок).

Побудова плр

b1 – коефіцієнт регресії. Його значення показує середню зміну значення результату при зміні значення фактору на одну одиницю.

А) Критерій кореляції:

Значення коефіцієнта кореляції завжди розташовано в інтервалі [–1;1].

Додатне значення r свідчить про прямий зв’язок між показниками, а від’ємне – про зворотний. Коли | r |  1, це свідчить про наявність сильного зв’язку, у протилежному випадку, коли | r |  0, лінійного зв’язку немає.





ANOVA-таблиця (ANalysis Of VAriance)

Джерело варіації		Ступінь вільності df (degree free)	Сума квадратів SS (Sum Square)	Середній квадрат MS (Mean Square)
Регресія	(Regression – R)	1
Похибка	(Error – E)	n-2
Загальне	(Total – T)	n-1		–

Б) Критерій детермінації (характеризує частку дисперсії результативного признаку у, що пояснюється регресією, у загальній дисперсії):

.

Значення коефіцієнта детермінації завжди розташовано в інтервалі [0;1].

Коли R²1, це свідчить про адекватність моделі реальній дійсності, у протилежному випадку, коли R² 0, про відсутність зв’язку.

Теорема:

В) Критерій Фішера.

1. Висувається нульова гіпотеза про відсутність зв’язку між показниками (Н₀: b₁=0).

2. Розраховується F-статистика Фішера:

3. Визначається критичне значення F-статистики за таблицями F-розподілу Фішера із ступенем вільності (n-2) і рівнем значимості  (максимальна величина відношення дисперсії, яка може мати місце при випадковій їх розбіжності для заданого рівня ймовірності наявності нульової гіпотези): F_(n-2), .

4. Розраховане значення F-статистики порівнюється з F_(n-2), .

У випадку, коли F> F_(n-2), , нульова гіпотеза про відсутність зв’язку між показниками відкидається, рівняння регресії вважається статистично значимим. В протилежному випадку – модель вважається статистично незначимою.