8. Розклад числа на лінійні множники.

Означення. Число називається простим, якщо воно ділиться тільки на 1 і само себе.

Означення. Число, яке має більше двох дільників називається складеним.

1 не належить ні до простих ні до складених чисел.

Означення. Якщо дільник числа є простим числом, то він називається простим дільником або простим множником.

Теорема. Будь-яке натуральне число, окрім 1 має принаймні один простий дільник.

Доведення. Нехай – натуральне число більше 1. Якщо воно просте, то воно і є таким простим дільником.

Нехай – складене число. Нехай – найменший із дільників, відмінний від 1. . Припустимо, що – складене. Тоді у нього є вій дільник відмінний від 1 і . Нехай це число с ( ). Оскільки ділиться на с, то і добуток ділиться на с за Т.-4 п.10. Значить на с ділиться . Отже, у числа знайшовся дільник с менший від . Отже, – просте.

Теорема. Будь-яке натуральне число, окрім одиниці, можна представити як добуток простих множників і таке представлення єдине, якщо не враховувати порядок множників.

Доведення. Доведемо існування. Якщо просте, то теорема доведена. Нехай – складене число. За попередньою теоремою має простий дільник. Нехай це , тоді , . Якщо число просте, то теорема доведена. Якщо ж складене, то у нього є простий дільник, нехай . Тоді і , причому . І так далі. Тоді . Воно не може містити більше як членів, тому процес виділення простих множників скінченний. Це настане тоді, коли . Існування доведено.

Доведемо єдиність.

Спочатку доведемо лему.

Лема. Якщо добуток натуральних чисел ділиться на просте число , то принаймні один із множників ділиться на .

Доведення проведемо методом математичної індукції. Індукцію проведемо по .

1. Нехай . Тоді нехай ділиться на просте число . Якщо ділиться на , то лема доведена. Якщо не ділиться на , то за Т.-6 п.9 ділиться на .

2. Припустимо, що лема справедлива при . Доведемо, що вона справедлива при . Подамо добуток , як добуток двох чисел . Якщо ділиться на , то лема доведена. Якщо не ділиться на , то за п.1 ділиться на . За припущення лема справедлива для множників., отже, принаймні один з множників ділиться на .

3. Отже, лема правильна для довільного .

Доведемо єдиність теореми. Доведемо це методом від супротивного. Нехай число має два розклади і причому . Тоді . Ліва частина рівності ділиться на , отже, і права частина рівності буде ділитись на . А за лемою хоча б один із співмножників правої частини має ділитись на . Нехай це буде . Проте просте число може ділитись лише на 1 і саме на себе. Оскільки , то . Поділимо обидві частини рівності на . Отримаємо . Продовжуючи аналогічні міркування отримаємо . І нарешті . Останнє можливе лише, якщо , що суперечить умові. Теорема доведена.

Для розкладу числа на прості множники користуються або таблицею простих чисел або решетом Ератосфена.

8. НСД.

Означення. Спільним дільником декількох натуральних чисел називається число, яке є дільником кожного із них.

Означення. Найбільший із спільних дільників називається найбільшим спільним дільником.

Означення. Числа у яких НСД дорівнює 1 називаються взаємно простими.

Правило 1. Щоб знайти НСД декількох чисел потрібно знайти добуток степенів усіх тих простих множників у їх розкладах, які одночасно входять в усі розклади, взятих з найменшими показниками.

Правило 2. Алгоритм Евкліда.

8. НСК.

Означення. Спільним кратним декількох натуральних чисел називається число, яке є кратним кожного із них.

Означення. Найменше із спільних кратних називається найменшим спільним кратним.

Правило 1. Щоб знайти НСК декількох чисел потрібно знайти добуток степенів усіх різних простих множників у їх розкладах, які входять хоча б в один із розкладів цих чисел, взятих з найбільшими показниками.

Правило 2. НСК дорівнює частці від добутку чисел і їх НСД.

Доведення. Розглянемо числа і . Нехай НСК . За означенням кратного . Нехай НСД . Тоді . . як спільне кратне має ділитись на . Якщо , то і . Отже не найбільший спільний дільник.

Оскільки і взаємно прості, то за Т.-6 (п.11) має розділитись на . Маємо . , де – натуральне число. Найменшим значенням для є таке, яке отримується при . Ми довели, що .

Наслідок. Спільні кратні двох чисел співпадають з кратними їх НСК. Тобто .

10