Теореми про зміну результату дії при зміні компонентів.

Теорема13: Якщо один доданок збільшити(зменшити) на деяке число, не змінюючи решти, то і сума збільшиться (зменшиться) на це число.

Дано:

Довести: .

Це інше формулювання теореми 1.

Теорема14: Якщо зменшуване збільшити (зменшити) на деяке число, не змінюючи від’ємника, то різниця збільшиться (зменшиться) на це число.

Дано:

Довести: .

Це інше формулювання теореми 3.

Теорема15: Якщо від’ємник збільшити (зменшити) на деяке число, не змінюючи зменшуване, то різниця зменшиться (збільшиться) на це число.

Дано:

Довести: .

Це інше формулювання теореми 4.

Теорема16: Якщо один із множників збільшити (зменшити) в деяке число раз, не змінюючи решти співмножників, то добуток збільшиться (зменшиться) в це ж число раз.

Дано:

Довести: .

Це інше формулювання теореми 8.

Теорема17: Якщо ділене збільшити (зменшити) в деяке число раз, не змінюючи дільника, то частка збільшиться (зменшиться) в це ж число раз.

Дано:

Довести: .

Це інше формулювання теореми 12.

Теорема18: Якщо дільник збільшити (зменшити) в деяке число раз, не змінюючи ділене, то частка зменшиться (збільшиться) в це ж число раз.

Дано:

Довести: .

Це інше формулювання теореми 11.

Теорема19: Якщо зменшуване і від’ємник збільшити (зменшити) на одне і теж число, то різниця не зміниться.

Дано:

Довести: і .

Доведення:

За комутативним законом додавання, Т-4, Т-5, означенням різниці матимемо .

Друга рівність – це інший запис першої.

Теорема20: Якщо ділене і дільник збільшити (зменшити) в одне і теж число раз, то частка не зміниться

Дано:

Довести: і .

Доведення:

За комутативним законом множення, Т-11, означенням ділення матимемо: .

Друга рівність – це інший запис першої.

8. Деякі властивості арифметичних дій, що виражені нерівністю.

Симетричність і транзитивність та закони монотонності додавання і віднімання доводились у п.4.

Теорема 1. Якщо , то .

Доведення. Якщо , то за означенням існує таке – натуральне, що . За означенням дії віднімання . Але , отже і .

Теорема 2. (обернена до Т1) Якщо , то .

Доведення. Якщо , то воно натуральне. Нехай . Тобто . За означенням дії віднімання За означенням поняття „бути більшим” .

Надалі ці твердження візьмемо за означення поняття „бути більшим”, „бути меншим”.

Означення. Кажуть, що число буде більше числа , якщо різниця додатна. Означення поширюється і на випадок коли .

Це означення має переваги над попереднім у тому, що вона істинне і для випадку дійсних чисел.

Теорема 3. Якщо , , то .

Доведення. За законом монотонності Т-5: з того, що маємо, що . Аналогічно з того, що маємо , . За властивістю транзитивності .

Теорема 4. Якщо , то .

Доведення. Оскільки, , то . За Т.-19 (п.7) . За Т.-4 .

Теорема 5. Якщо , то .

Доведення. За Т.-6 (п.7), за комутативним законом, Т.-3,4 (п.7) маємо , оскільки .

Теорема 6. Якщо , , то .

Доведення. За Т.- 4 оскільки , то . За Т.- 5 з того, що . За законом транзитивності .

Теорема 7. Якщо , , то .

Доведення. За законом монотонності множення маємо , . За комутативним законом і за транзитивністю дії множення і

Теорема 8. Якщо , , то .

Доведення. За Т.- 10 (п.7) маємо , оскільки і . Отже, .

Теорема 9. Якщо , , то .

Доведення. Розглянемо різницю (скористались Т.– 20, Т.- 10, п.7 та означенням поняття „більше”)

Теорема 10. Якщо , то .

Доведення. Оскільки , то за Т.- 7 , , .... отже, і .

Закон оборотності. Нехай деякий математичний об’єкт володіє тільки однією з трьох властивостей , , і однією з трьох властивостей , , . Припустимо, що за цих умов виконуються такі теореми:

1. Якщо , то .

2. Якщо , то .

3. Якщо , то , тоді справедливі і обернені до них.

Наприклад. Нехай невід’ємні, . Вони поєднані між собою лише одним із співвідношень , , та їх степені також знаходяться між собою у одному із співвідношень , , . Для натуральних чисел правильні теореми:

1. Якщо , то .

2. Якщо , то .

3. Якщо , то . В силу закону оборотності мають місце і обернені до них твердження.

Теорема 11. Якщо , то

Доведення. Поклавши , матимемо обернену до попередньої теорему, істинність якої випливає із закону оборотності.