34. //Вычисление и печать таблицы умножения чисел от 1 до 100

35. For I:=1 to 100 do

36. For J:=1 to 100 do

37. Write(I*j); // умножение выполняется 10000 раз

Во вложенных циклах допустимо передавать управление из внутреннего цикла в любую точку внешнего цикла. Передача управления из внешнего цикла в произвольную точку внутреннего цикла запрещена, так как в этом случае вход во внутренний цикл осуществляется не через его начало Такая передача управления в языке Паскаль возможна только с использованием оператора безусловного перехода. Поскольку применение этого оператора не отвечает принципам структурного программирования, то его, как правило, в программах не используют и, следовательно, подобные структуры встречаться не будут.

При организации вложенных циклов необходимо обращать внимание на правильное задание вложенности циклов. В некоторых программах порядок вложенности циклов не оказывает влияния на правильность получаемого результата. Например, при вычислении суммы всех элементов матрицы порядок следования циклов может быть произвольным:

Вариант 1 Вариант 2

38. S:=0; S:=0;

39. for I:=1 to M do for J:=1 to N do

40. for J:=1 to N do for I:=1 to M do

41. S:=S+A[I,J]; S:=S+A[I,J];

Однако при решении многих задач изменение порядка вложенности циклов приводит к неверному результату. Напрмер, при вычислении суммы элементов каждой строки матрицы изменение порядка расположения циклов приведет к тому, что будут вычисляться суммы элементов столбцов.

Вариант 1 (правильный) Вариант 2 (неправильный)

42. for I:=1 to M do for J:=1 to N do

43. Begin begin

44. S:=0; S:=0;

45. for J:=1 to N do for I:=1 to M do

46. S:=S+A[I,J]; S:=S+A[I,J];

47. WriteLn(s:7:2); WriteLn(s:7:2);

48. end; end;

Необходимость организации вложенного цикла встает при решении таких широко распространенных задач, как вычисление определенного интеграла с заданной точностью, вычисление экстремума функции на заданном интервале с заданной точностью. Рассмотрим решение этих задач.

Вычисление определенного интеграла с заданной точностью

Задача вычисления определенного интеграла формулируется следующим образом: необходимо вычислить I= c точностью ε при известных значения пределов интегрирования a, b, известной точности ε и заданной подынтегральной функции f(x). При вычислении интеграла с точностью будем использовать изложенные ранее методы прямоугольников, трапеций и парабол для вычисления интеграла при заданном числе разбиений интервала интегрирования. Для оценки погрешности вычисления интеграла на практике используют правило Рунге [4]. Суть правила состоит в том, что выполняют вычисление интеграла с двумя разными шагами изменения переменной x, а затем сравнивают результаты вычислений и получают оценку точности. Наиболее часто используемое правило связано с вычислением интеграла дважды: с шагом h и шагом h/2.

Для методов прямоугольников и трапеций погрешность R_h/2 вычисления интеграла с шагом h/2 оценивается следующей формулой:

|R_h/2 | = ,

где I_h/2 – значение интеграла, вычисленное с шагом h/2;

I_h – значение интеграла, вычисленное с шагом h.

Для метода Симпсона погрешность оценивается в соответствии со следующим выражением:

|R_h/2 | = .

Шаг интегрирования для методов прямоугольников и трапеций пропорционален величине , поэтому в [1] рекомендовано начальное количество разбиений выбирать согласно следующему выражению n=] [ + 1, где ][ - целая часть. Для метода парабол шаг интегрирования пропорционален величине , поэтому начальное количество шагов рекомендовано выбирать из следующего выражения n=] [ + 1.

В программе вычисления интеграла с точностью во внутреннем цикле вычисляется значение определенного интеграла при заданном (фиксированном) числе разбиений интервала интегрирования. Во внешнем цикле производится сравнение значений интегралов, вычисленных при числе шагов, равных n и 2n соответственно. Если требуемая точность не достигнута, то производится удвоение числа разбиений, а в качестве предыдущего значения интеграла берется текущее; процесс вычисления интеграла выполняется при новом числе разбиений.

В дальнейшем в программах при вычислении значений аргумента используется формула арифметической прогрессии X=X_н +(i-1)*dx, а не формула накопления суммы X=X+dx, так как в первом случае получается меньшая погрешность вычислений [7].