Задание 1 Построение однофакторных уравнений регрессии.

1.Построить уравнение парной регрессии в линейной форме, считая, что значения фактора y и значения фактора х задаются в таблице:

2.Провести дисперсионный анализ.

3. Оценить статистическую значимость уравнения.

4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии.

5. Вычислить средний коэффициент Эластичности.

Линейная регрессия

Уравнение регрессии, будем искать в виде:

y=a+b*x(1)

где неизвестные параметры a и b находим согласно методу наименьших квадратов. Коэффициенты a и b выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонения эмпирических значений y_iот значений y найденные по уравнению регрессии (1) было минимальным.

S=∑(a+b*x-y)²→min

a*n+b*∑x=∑y

a*∑x+b∑x²=∑y*x

Итого

a=(yср.*x²-(yx)ср.*xср.)/(x²)ср.-(x ср.)²

b=(yx)ср.-x ср.*y ср./(x²)ср.-(x ср.)²

Для расчёта параметров a и b линейной регрессии y=a+b*x решаем систему нормальных уравнений относительно a и b:

a*n+b*∑x=∑y

a*∑x+b∑x²=∑y*x

По исходным данным рассчитываем ∑y, ∑x, ∑y*x, ∑x², ∑y².

Рассчитаем параметры a и b:

a= (126,84*17431,72-16835,92*131,4)/(17431,72 -131,4^2)=-7,24253861

b= (16835,92-131,4*126,84)/(17431,72 -131,4^2)=1,020415058

Уравнение регрессии: Ŷ=-7,24253861+1,020415058*x

При увеличении фактора xна 1 единицу от своего среднего уровня, результативный показатель y увеличится на 1,020415058от своего среднего уровня.

Другими словами, при увеличении денежных расходов на душу населения на 1 единицу от своего среднего уровня, потребительские расходы на душу населения увеличиваются на 1,020415058 единиц от своего среднего уровня.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_x*y=b*σ_x/σ_y=1,020415058*12,87478/13,30468=0,987443895

Связь умеренная, прямая.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчётные) значения Ŷ_x.

Найдём величину средней ошибки аппроксимации A:

A=1/n*∑A_i=1*∑(|ŷ-у|)/y

*100%=1/25*0,314114983*100%=1,256459931%

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 1,256459931%.

Рассчитаем F-критерий: F_расч.=r²*(n-2)/1- r²

F_расч.=0,987443895²*(25-2)/(1-0,987443895)=898,6754501

F_табл.=4,24

Полученное значениеF_расч.>F_табл.

Значит, модель считается статистически значимой.

Рассчитаем коэффициент эластичности:

Э=b*x_ср./y_ср.

Э=1,020415058* 131,4/126,84=1,0570998

Полученное значение коэффициента эластичности Э=1,0570998% показывает, что при увеличении фактора x на 1% от своего среднего значения, результативный показатель y увеличится на 1,0570998% от своего среднего значения.

Другими словами при увеличении денежных расходов на душу населения на 1% от своего среднего уровня, потребительские расходы на душу населения увеличиваются на 1,0570998% от своего среднего уровня.

Степенная регрессия

Уравнение регрессии, будем искать в виде:

y=a*x^b

Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путём логарифмирования обеих частей уравнения:

lg_y=lg_a+b*lg_x;

Y=A+b*x,

Где Y= lg_y, X=lg_x, A= lg_a.

Где параметры a и b рассчитываем:

b=(Y*X)_ср.-Y_ср.*X_ср./(X²)_ср.-(X_ср.)²

a=Y_ср.* (X²) _ср-(Y*X) _ср*X_ср/(X²)_ср.-(X_ср.)²

Для расчётов используем данные таблицы.

Рассчитаем параметры aи b:

a=2,100806321*4,481279271-4,448260122*2,116459231/4,481279271-2,116459231²=-0,139060872

b=4,448260122-2,100806321*2,116459231/4,481279271-2,116459231²=1,058308688

Получим линейное уравнение:Ŷ=-0,139060872+1,058308688*X

Полученный коэффициент регрессии b=1,058308688показывает, что при увеличении фактора x на 1 единицу от своего среднего уровня, результативный показатель y увеличится на 1,058308688от своего среднего уровня.

Другими словами, при увеличении денежных расходов на душу населения на 1 единицу от своего среднего уровня, потребительские расходы на душу населения увеличиваются на 1,058308688единиц от своего среднего уровня.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

r_x*y=b*σ_x/σ_y=0,403606131* 0,007991/0,007919=0,407238956

Связь умеренная, прямая.

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические (расчётные) значения Ŷ_x.

Найдём величину средней ошибки аппроксимации A:

A=1/n*∑A_i=1*∑│y- Ŷ │/y*100%=1/25*2849,843705*100%=11399,37482

В среднем расчётные значения отклоняются от фактических на 11399,37482%.

Рассчитаем F-критерий: F_факт.=(r²*(n-2))/(1- r²)

F_факт.= (0,407238956²*(25-2))/(1-0,407238956²)=4,572765852

F_табл.=4,24

Полученное значениеF_факт.>F_табл.

Значит, модель считается статистически значимой.

Рассчитаем коэффициент эластичности:

Э=b*x_ср./y_ср.

Э=0,403606131*2,934788357/2,916613288=0,40612123

Полученное значение коэффициента эластичности Э=0,40612123% показывает, что при увеличении фактора x на 1 % от своего среднего значения результативный показатель y уменьшится на 0,40612123% от своего среднего значения.

Другими словами при увеличении денежных расходов на душу населения на 1% от своего среднего уровня, потребительские расходы на душу населения увеличиваются на 0,40612123% от своего среднего уровня.

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,407238956
R-квадрат	0,165843567
Нормированный R-квадрат	0,129575896
Стандартная ошибка	0,007540885
Наблюдения	25
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	0,00026003	0,00026003	4,572765851	0,043332159
Остаток	23	0,001307894	5,68649E-05
Итого	24	0,001567924
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	1,732114714	0,55391952	3,127015119	0,004734244	0,586244883
Переменная X 1	0,403606131	0,188741878	2,13840264	0,043332159	0,013163808