3.1.2. Теплопровідність необмеженої циліндричної стінки

3.1.2.1. Граничні умови першого роду

Розглянемо стаціонарний процес теплопровідності у циліндричній стінці (трубі) з внутрішнім діаметром D₁=2R₁ і зовнішнім діаметром D₂=2R₂. На поверхнях стінки задані постійні температури t_c1 і t_c2. В заданому інтервалі температур коефіцієнт теплопровідності матеріалу стінки  є величиною постійною.

Необхідно знайти розподілення температур у циліндричній стінці і тепловий потік через неї.

Рисунок 12. Розрахункова схема

У даному випадку для тіл обертання задачу зручно розв’язувати у циліндричній системі координат. Рівняння теплопровідності в цьому випадку має вигляд:

. (60)

Розрахункова схема приведена на рисунку 12. Вважаємо, що довжина циліндру достатньо велика і відведенням тепла з торців можна зневажити ( ), задача стаціонарна ( ) і вісесиметрична ( ). Тоді рівняння енергії набуває вигляду:

. (61)

Інтегруючи двічі рівняння (61) і визначаючи постійні інтегрування С₁ і С₂, з граничних умов t(R₁)=t_C1 і t(R₂)=t_C2 , отримаємо рівняння температурного поля у циліндричній стінці

. (62)

P.S. Коментар по знаходженню рівняння температурного поля.

Введемо нову змінну

, (а)

тоді (в)

Підставивши (а), (в) у (61) отримаємо:

(г)

Інтегруючи, отримаємо (д)

Потенціюючи рівняння (д) і переходячи до початкових змінних отримаємо

. (е)

Після інтегрування

знаходимо С₁ і С₂

при r = R₁ t = t_c1=C₁ lnR₁ + C_2;

при r = R₂ t = t_c2=C₁ lnR₂ + C_2;

З вище сказаного

. (ж)

Звідси

. (62)

Кількість тепла Q, яка проходить через стінку труби довжиною , визначається згідно закону Фур’є:

. (63)

Диференціюючи (62) по r і підставляючи отриманий вираз у (63), знаходимо: (вважаючи, що )

. (64)

Питомий тепловий потік, віднесений до одиниці поверхні стінки труби:

(65)

залежить від діаметру, тому більш зручно тепловий потік відносити до одиниці довжини труби:

, [Вт/м] (66)

і називається лінійною густиною теплового потоку. Як бачимо з рівняння, при незмінному відношенні (D₂/D₁) лінійна густина теплового потоку не залежить від поверхні циліндричної стінки. Густина теплового потоку q₁ і q₂ (віднесені до внутрішньої та зовнішньої поверхонь) при передачі теплоти через труби неоднакова, причому q₁>q₂.

Величина називається термічним опором циліндричної стінки.

3.1.2.2. Граничні умови третього роду (теплопередача)

Розглянемо однорідну циліндричну стінку (трубу з постійним коефіцієнтом теплопровідності ). Задані постійні температури рухомих середовищ t_р1 і t_р2 і постійні значення коефіцієнтів тепловіддачі на внутрішній і зовнішній поверхні труби ₁ і ₂ (рисунок 13). Необхідно знайти і . Будемо вважати, що довжина труби велика у порівнянні з товщиною стінки. Тоді втратами теплоти з торців труби можна знехтувати і при сталому тепловому режимі буде проходити через стінку і віддаватись від стінки до холодної рідини одна й та сама кількість теплоти.

Рисунок 13. Розрахункова схема

Розрахункова схема приведена на рисунку 13. Аналогічно, як і для плоскої стінки, можемо записати наступне рівняння:

(67)

Розв’язуючи систему рівнянь відносно термічного опору

і складаючи одержані рівності, знаходимо:

. (68)

Величина називається коефіцієнтом теплопередачі для циліндричної стінки. Слід відмітити, що при розрахунку апаратів для тонкостінних труб можна знехтувати кривизною і коефіцієнт теплопередачі розраховувати по рівнянню для плоскої стінки.