Классификация замкнутых поверхностей

Мы подходим к формулировке замечательной теоремы о топологической классификации поверхностей, полученной немецким математиком Мебиусом и французским математиком Жорданом.

Условимся рассматривать только замкнутые поверхности (которые не имеют края и допускают разбиение на конечное число многоугольников). Плоскость, например, не является замкнутой поверхностью: конечный граф, начерченный на плоскости, не разбивает ее на области, которые все гомеоморфны кругу.

Задача топологической классификации поверхностей заключается в том, чтобы указать такие попарно не гомеоморфные замкнутые поверхности, что любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из них. Иначе говоря, нужно перечислить все топологически различные замкнутые поверхности.

Теорема. Обозначим через P₀ сферу, а через P_k сферу с k ручками. Тогда поверхности

P₀, P₁, P₂, …, P_k ,… (1)

дают полную топологическую классификацию замкнутых ориентируемых поверхностей, т.е. здесь перечислены все различные типы таких поверхностей.

Замкнутую неориентируемую поверхность можно расположить в пространстве лишь с самопересечениями. Так как край ленты Мебиуса гомеоморфен окружности, то можно попытаться приклеить ленту Мебиуса своим краем к краю дыры, вырезанной в некоторой поверхности, например в сфере. Если на одной окружности кольца склеить между собой каждые две диаметрально противоположные точки, то мы получим ленту Мебиуса.

Пусть теперь ℓ контур круглой дыры на некоторой поверхности Q. Вырежем из поверхности узкую полоску (кольцо) вокруг дыры ℓ и обозначим через ℓ′ наружный контур этого кольца .

Тогда получится поверхность, гомеоморфная Q (только с несколько большей дырой ℓ′), и отдельно кольцо. Склеим теперь на контуре ℓ отрезанного кольца каждые диаметрально противоположные точки; тогда кольцо превратится в ленту Мебиуса. Эту ленту Мебиуса мы и вклеим в дыру ℓ′. В результате мы вклеим в поверхность Q (точнее, в поверхность, гомеоморфную ей) ленту Мебиуса. Но разрезание поверхности по контуру ℓ′ и обратное склеивание этого разреза можно было и не делать: достаточно было просто склеить на контуре ℓ каждые две диаметрально противоположные точки. Итак, склеивание каждых двух диаметрально противоположных точек на контуре круглой дыры равносильно вклеиванию в эту дыру ленту Мебиуса.

Теперь мы можем сформулировать вторую половину теоремы МебиусаЖордана о классификации поверхностей, а именно, дать перечисление всех топологически различных типов замкнутых неориентируемых поверхностей.

Теорема. Обозначим через N_q поверхность, получающуюся из сферы вырезанием в ней q дыр и заклеиванием их всех лентами Мебиуса. Тогда поверхности

N₁, N₂, … , N_q, … (2)

дают полную топологическую классификацию замкнутых неориентируемых поверхностей.

Решение нулевого варианта контрольной работы

Задание 1. Зафиксируем точку в трехмерном евклидовом пространстве. Открытыми множествами назовем все пространство, пустое множество, а также внешние области шаров с центром в точке и произвольным радиусом , т.е. множество всех точек таких, что . Показать, что данное пространство с указанными открытыми множествами является топологическим пространством.

Решение.

Пусть - семейство всех открытых множеств данного пространства. Покажем, что - топология.

1. По условию само множество и пустое множество принадлежат семейству .

2. Покажем, что объединение любого числа множество семейства также принадлежит , т.е. является открытым множеством.

Пусть рассматриваемое семейство множеств, - радиус шара, определяющего множество . Рассмотрим соответствующее множество . Так как , то множество ограничено снизу, а значит, как известно из курса математического анализа, имеет точную нижнюю грань . Тогда . Так как , то и .

3. Покажем, что пересечение любых двух открытых множеств и также принадлежит семейству .

Пусть множество определяется шаром радиуса , а множество - шаром радиуса . Тогда , где - множество, определяемое шаром радиуса . Так как , то .

Таким образом рассматриваемое пространство с введенными открытыми множествами является топологическим пространством.

Задание 2. Для множества топологического пространства с топологией , индуцированной обычной метрикой, т.е. , найти , , , и множество всех изолированных точек, если .

Решение.

Изобразим данное множество на числовой оси.

Р ис. 1.

Покажем, что .

Пусть и , тогда имеем: , т. е. любая точка интервала является внутренней. Для каждой из точек не существует окрестности, входящей в .

Рассмотрим множество . Из курса математического анализа известно, что любой числовой промежуток содержит бесконечно много как рациональных, так и иррациональных точек. Поэтому любая окрестность точки этого множества будет содержать иррациональные точки, т. е. точки, принадлежащие и, следовательно, внутренних точек в этом множестве нет.

Итак, .

2. .

. По аналогии с первым пунктом можно убедиться, что .

Итак, .

3. Известно, что .

Следовательно .

4. Так как замыкание , то получаем: .

5. Покажем, что точки являются изолированными. Для этого рассмотрим окрестности и .

,

.

А это означает, что точки являются изолированными.

Ответ: ,

,

,

,

– множество изолированных точек.

Задание 3. Доказать, что множество точек Х плоскости , имеющих только одну рациональную координату, несвязно.

Решение.

Рис. 2.

Рассмотрим прямую , все точки, которой не принадлежат множеству Х. Действительно, ее точки имеют либо две рациональные координаты, либо две иррациональные. Рассмотрим две открытые полуплоскости ₁ и ₂ с границей .

Пусть и . (1)

Покажем, что множества и являются открытыми в подпространстве с топологией , где - открытое множество топологического пространства .

Пусть точка . Рассмотрим число и окрестность этой точки , где . Очевидно, что

(2).

Рассмотрим окрестность этой точки

(3)

в подпространстве . В силу утверждений (1), (2) и (3) заключаем, что , а это означает, что точка является внутренней точкой множества , откуда следует, что (4).

Используя критерий открытого множества и равенство (4), можно утверждать, что - открытое множество подпространства .

Нетрудно убедиться, что множество также является открытым в подпространстве . При этом и , откуда по

определению несвязного подпространства следует, что - несвязное множество.

Задание 4. Показать, что бесконечное множество точек числовой оси с координатами не является компактным.

Решение.

Рассмотрим данное множество как числовую последовательность

и рассмотрим его бесконечное открытое покрытие

, где .

При этом

.

Таким образом, если из данного покрытия удалить хотя бы одну окрестность , то среди оставшихся окрестностей не найдется ни одной, содержащей точку .

Следовательно, по определению данное множество не является компактным.

Задание 5. Найти эйлерову характеристику двумерного многообразия , построив конкретное клеточное разбиение, и эйлерову характеристику двумерного многообразия , пользуясь теоремой о «склеивании» двумерных многообразий, если - сфера, - сфера с двумя «дырками», заклеенными двумя «ручками».

Решение.

Изобразим сферу и предложим ее следующее клеточное разбиение

Тогда , , , где - число вершин, - число сторон, - число клеток.

Эйлерова характеристика вычисляется по формуле: . В нашем случае .

Так как двумерное многообразие получено «склеиванием» сферы с двумя «дырами» и двух «ручек» и , то по теореме о «склеивании» двумерных многообразий имеем:

. (1)

Эйлерова характеристика сферы с «дырами» вычисляется по формуле . В нашем случае , поэтому

. (2)

Как известно, эйлерова характеристика «ручки» равна - 1, поэтому

. (3)

Тогда в силу равенств (1), (2), (3) имеем:

.