4.2. Основные законы распределения непрерывной случайной величины
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого заданного интервала, например, время ожидания транспорта, температура воздуха в каком-либо месяце, отклонение фактического размера детали от номинального и т.д. Интервал, на котором она задана, может быть бесконечным в одну или обе стороны.
Плотность вероятности непрерывной случайной величины, она же дифференциальная функция распределения вероятностей – аналог закона распределения дискретной с.в. Но если закон распределения дискретной с.в. графически изображается в виде точек, соединённых для наглядности ломаной линией (многоугольник распределения), то плотность вероятностей графически представляет собой непрерывную гладкую линию (или кусочно-гладкую, если на разных отрезках задаётся разными функциями). Аналитически задаётся формулой.
Если закон распределения дискретной с.в. ставит каждому значению x в соответствие определённую вероятность, то про плотность распределения такого сказать нельзя. Для непрерывных с.в. можно найти только вероятность попадания в какой-либо интервал. Считается, что для каждого отдельного (одиночного) значения непрерывной с.в. вероятность равна нулю. Графически вероятность попадания в интервал выражается площадью фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью ОХ, с боков – рассматриваемым интервалом.
Свойства плотности вероятности:
1) Значения функции неотрицательны, т.е. f(x)≥0.
2) Основное свойство плотности вероятности: несобственный интеграл от плотности вероятности в пределах от -∞ до +∞ равен единице (геометрически это выражается тем, что площадь фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу – осью OX, равна 1)
.
Функция распределения случайной величины, она же интегральная функция распределения вероятностей – это функция, определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина (ξ) примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(ξ<x). Численно функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью ОХ, с боков – рассматриваемым интервалом. Основные свойства:
1) Значения функции распределения лежат в интервале [0; 1], т.е. 0 ≤ F(X) ≤ 1.
2) Это функция неубывающая, при x→-∞ F(X)→0, при x→+∞ F(X)→1.
3) Вероятность попадания в интервал (a, b) определяется формулой F(b) – F(a).
Взаимосвязь интегральной и дифференциальной функций распределения вероятностей:
.
Пример 4.4
Для непрерывной случайной величины задана плотность распределения
Требуется построить графики плотности вероятности и функции распределения, определив предварительно параметр A.
Решение
Используем основное свойство плотности вероятности:
.
Рис. 4.3. Графики плотности вероятности непрерывной случайной величины Х
Рис. 4.4. Графики график функции распределения непрерывной случайной величины Х
Рассмотрим числовые характеристики непрерывных случайных величин.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
.
В частности, если с.в. задана своей плотностью вероятности на каком-либо отрезке, то и интеграл вычисляем на этом отрезке.
Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
.
Среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины, оно же стандартное отклонение или среднее квадратичное отклонение есть корень квадратный из дисперсии:
.
Мода непрерывной случайной величины Mo(X) – значение с.в., имеющее наибольшую вероятность. Если в задаче требуется определить моду – находим экстремум (максимум) плотности вероятности f(x).
Коэффициент вариации непрерывной случайной величины вычисляется по той же формуле, что и для дискретной с.в.:
V(X) = |σ(X)/M(X)| · 100%.
Асимметрия (коэффициент асимметрии) случайной величины As(X) – величина, характеризующая степень асимметрии распределения относительно математического ожидания. Коэффициент асимметрии непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
.
Если коэффициент асимметрии отрицателен, то либо большая часть значений случайной величины, либо мода находятся левее математического ожидания, и наоборот, если As(X)>0, то правее.
Эксцесс (коэффициент эксцесса) случайной величины Ex(X) – величина, характеризующая степень островершинности или плосковершинности распределения. Коэффициент эксцесса непрерывной случайной величины вычисляется по формуле:
.
Рассмотрим примеры некоторых непрерывных распределений.
Нормальное распределение
Плотность нормального распределения имеет вид
,
где a – математическое ожидание; σ – среднее квадратичное отклонение.
Значения плотности нормального распределения для конкретного числового значения x можно вычислить в Excel с помощью формулы =НОРМРАСП(x;a;σ;0). Если a = 0, σ = 1, то такое нормальное распределение называется стандартным. Значения плотности стандартного нормального распределения можно посмотреть в таблице или вычислить в Excel с помощью формулы =НОРМРАСП(x;0;1;0).
График плотности нормального распределения имеет куполообразную форму, он симметричен относительно своего математического ожидания, а на степень его островершинности влияет величина среднего квадратичного отклонения σ (рис. 4.5).
Рис. 4.5. График плотности нормального распределения при различных значениях параметра σ
Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения равны:
As(X) = 0; Ex(X) = 0; Mo(X) = a; Me(X) = a,
где а – математическое ожидание.
Интегральная функция нормального распределения вероятностей:
.
Интегральная функция распределения вероятностей показывает вероятность того, что с.в. примет значение меньшее, чем x: F(x) = P(ξ < x). Численно она равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком плотности вероятности, снизу осью OX, на интервале от -∞ до x. На рис. 4.6 дана иллюстрация.
Рис. 4.6. График интегральной функции нормального распределения
Равномерное распределение
Плотность вероятности равномерного распределения сохраняет на интервале (a; b) постоянное значение, вне этого интервала плотность вероятности равна нулю. Исходя из основного свойства плотности вероятности, f(x) = 1/(b – a) на интервале (a; b). Интегральную функцию распределения (вероятность того, что с.в. примет значение меньшее, чем x) находим как интеграл от -∞ до x от плотности вероятности:
F(x) = (x – a)/(b – a).
Графики плотности вероятности и интегральной функции равномерного распределения представлены на рис. 4.8.
Рис. 4.8. Графики плотности вероятности (сверху) и интегральной функции (снизу) равномерного распределения
Математическое ожидание равномерного распределения:
M(X) = (a + b)/2.
Дисперсия равномерного распределения:
D(X) = (b – a)2/12.
Среднее квадратичное отклонение равномерного распределения:
σ(X) = (b – a)/(2√3).