Тест ранговой корреляции Спирмена.

Предполагается, что дисперсия отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений x. Значения x_i и ε_i ранжи (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

где d_i – разность между рангами x_i и ε_i, n – число наблюдений.

Например, если x₂₀ является двадцать пятым по величине среди наблюдений, а ε₂₀ является тридцать вторым, то d_i=25-32=7.

Доказано, что если коэффициент корреляции r_x,e для генеральной совокупности равен нулю, то статистика имеет распределение Стьюдента с df=n-2. Если то отклоняем гипотезу об отсутствии гетероскедастичности, иначе гипотеза принимается.

Тест Парка

Парк предложил зависимость

1. Строится уравнение регрессии

2. Для каждого наблюдения определяются , где

3. проверяется статистическая значимость коэффициента β на основе t-статистики Если β статистически значим, есть гетероскедастичность в статистических данных.

Есть тест Глейзера (аналогичный).

Тест Голдфелда-Квандта:

Голдфелд и Квандт рассмотрели однофакторную линейную модель, для которой дисперсия остатков возрастает пропорционально квадрату фактора. Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности, они предложили параметрический тест:

1. упорядочение n наблюдений по мере возрастания переменной x;

2. исключение из рассмотрения C центральных наблюдений, при этом где p – число оцениваемых параметров;

3. разделение совокупности из (n-c) наблюдений на две группы (соответственно с малыми и большими значениями фактора x) и определение по каждой из групп уравнений регрессий;

4. определение остаточной суммы КО для первой (S₁) и второй (S₂) групп и нахождение их отношения:

При выполнении Но о гомоскедастичности отношение R будет удовлетворять F-критерию с степенями свободы для каждой остаточной суммы Ко. Чем больше R, чем F_табл, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

Четвертая предпосылка МНК – отсутствие автокорреляции остатков, т.е. значения остатков ε_i распределены независимо друг от друга. Автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих наблюдений. Коэффициент корреляции

где

ε_i – остатки текущих наблюдений;

ε_j – остатки предыдущих наблюдений, (j=i-1).

Если далеко от нуля, то остатки автокоррелированы. Отсутствие автокорреляции остатков обеспечивает состоятельность и эффективность оценок коэффициентов регрессии.

Предпосылка о нормальном распределении позволяет проводить проверку параметров регрессии с помощью t, F-критериев. Однако, оценки регрессии, найденные по МНК, имеют хорошие свойства даже при отсутствии нормального распределения остатков.

В общем виде применении МНК возможно, если число наблюдений n превышает число оцениваемых параметров m, т.е. сумма нормальных уравнений имеет решение только при n>m.

Матрица исследуемых факторов должна быть свободна от мультиколлинеарности. В множественной регрессии предполагается, что матрица невырожденная.

При несоблюдении предпосылок МНК надо корректировать модель, изменяя ее спецификацию, добавляя (исключая) некоторые факторы, преобразовывать исходные данные, чтобы получить оценки коэффициентов регрессии, удовлетворяющих несмещенности, состоятельности, эффективности.

Для этой цели служит обобщенный МНК.