Частная корреляция.

Ранжирование факторов множественной регрессии проводится как через стандартизованные коэффициенты регрессии (β – коэффициенты), так и через частные коэффициенты корреляции – для линейных связей. При нелинейной взаимосвязи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Частные показатели используются для факторов: целесообразность включения фактора доказывается величиной показателя частной корреляции.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции. Характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в уравнения регрессии.

Показатели частной корреляции представляют соотношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

Пример. Зависимость объема продукции y от затрат продукта x₁ характеризуется уравнением

Подставив в это уравнение фактические значения x₁, найдем теоретические величины объема продукции и остаточную дисперсию

Включив в уравнение дополнительный фактор x₂ – техническую оснащенность производства, получим уравнение регрессии вида

Для этого уравнения остаточная дисперсия, естественно, меньше. Чем больше факторов включено в модель, тем меньше величина остаточной дисперсии. Сокращение остаточной дисперсии за счет дополнительного включения фактора x₂ составляет

Чем больше доля этого сокращения в остаточной вариации до введения дополнительного фактора, т.е. в , тем теснее связь между y и x₂ при постоянном действии фактора x₁.

Индекс частной корреляции

показывает в "чистом" виде тесноту связи y с x₂,

- y с x₁.

Если предположить, что , то для примера

Более сильное влияние на объем продукции y оказывает техническая оснащенность предприятия x₂.

Другая формула коэффициентов (индексов) частной корреляции первого порядка:

Составление коэффициентов частной корреляции разного порядка по мере увеличения числа включаемых факторов показывает процесс "очищения" зависимости результативного признака с используемым фактором.

Пример. y – себестоимость добычи угля,

x₁ – объем добычи.

парный коэффициент корреляции характеризует тесную обратную связь признаков. Если x₂ – уровень производительности труда, то при постоянном x₂ частный коэффициент корреляции этой зависимости показывает хотя и достаточную, но уже заметно менее тесную связь себестоимости и объема добычи. Если x₃ – размер основных фондов, то, закрепив x₂ и x₃, получим, что теснота связи рассматриваемых признаков оказывается еще более низкой, т.е.

В практических исследованиях предпочтение отдают показателям частной корреляции самого высокого порядка т.к. именно они являются дополнениями к уравнению множественной регрессии.

В общем виде при наличии p факторов для уравнения

y=a+b₁x₁+b₂x₂+…+b_px_p+ε

коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на y фактора x_i при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле

,

где - множественный коэффициент детерминации всего комплекса p факторов с результатом.

- тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора x_i.

Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключантся.

Так, - первого порядка

- нулевого порядка

- второго порядка.

Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков через коэффициенты низких порядков определяются по формуле

Так, при двух факторах и i=1 формула примет вид:

При i=2 и двух факторах

Для уравнения регрессии с тремя факторами y=a+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃+ε возможно вычисление трех коэффициентов второго порядка:

Например, при i=1

Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, так же как и в парной регрессии, оценивается с помощью F-критерия Фишера:

где Д_факт – факторная сумма КО на одну df;

Д_ост – остаточная сумма КО на одну df;

R² – коэффициент (индекс) множественной детерминации;

m – число параметров при переменных x (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов);

n – число наблюдений.

Расчеты оформляются в таблицу результатов дисперсионного анализа:

Источники вариации, y	Число df	Сумма КО, S	Дисперсия на одну df, S2	Fфакт	Fтабл α=0,05, k1, k2
Общая	n-1		-	-	-
Факторная	m			Fфакт	Fтабл
Остаточная	n-m-1			-	-

где

Если F_факт>F_табл, уравнение статистически значимо.

При наличии в модели нескольких факторов они могут вводиться в модель в разной последовательности. Ввиду корреляции между факторами значимость оодного и того же фактора может быть разной в зависимости от последовательности его введения в модель. Мерой оценки включения фактора в модель служит частный F-критерий, т.е.

оценивает значимость влияния фактора x_p после включения в модель факторов x₁, x₂, …, x_p-1.

Е

x_i

сли F_факт>F_табл (α, df₁, df₂), то дополнительное включение в модель фак

т

x_i

ора x_i статистически оправдано и коэффициент чистой регрессии b_i при факторе x_i статистически значим. Если F_факт<F_табл, то дополнительное

включение фактора x_i не увеличивает существенно долю объясненной вариации признака y, значит, нецелесообразно его включение в модель; коэффициент регрессии при данном факторе в этом случае статистически незначим.

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии по t-критерию Стьюдента может быть проведена по формулам:

или

где b_i – коэффициент чистой регрессии при факторе x_i;

- средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии b_i.