![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Оглавление
- •IV. Решение типовых задач 32
- •V. Варианты контрольных работ 54
- •Список литературы 84 введение
- •I. Кратные и криволинейные интегралы
- •Понятие интеграла от скалярной функции
- •2. Основные свойства интегралов
- •3. Вычисление интегралов
- •3.1. Определенный интеграл
- •3.2. Криволинейный интеграл
- •3.3. Двойной интеграл
- •3.4. Поверхностный интеграл второго рода
- •3.5. Тройной интеграл
- •II. Применение кратных и криволинейных интегралов.
- •III. Элементы теории поля
- •Понятие поля
- •Векторные линии
- •Работа силового поля. Криволинейный интеграл второго рода. Циркуляция вектора вдоль замкнутого контура
- •Поток вектора через поверхность
- •Вектор площадки
- •Понятие потока вектора через поверхность
- •Гидродинамический смысл потока вектора через поверхность. Поток жидкости через поверхность
- •Поток вектора через плоскую кривую l
- •Свойства и вычисление потока вектора через поверхность
- •Оператор Гамильтона «набла»
- •Дивергенция векторного поля
- •Ротор (вихрь) векторного поля
- •Потенциальное векторное поле
- •8.1 Плоское потенциальное поле
- •IV. Решение типовых задач
- •Вычисление и применение двойного интеграла
- •Вычисление и применение тройного интеграла
- •Вычисление и применение поверхностного интеграла первого рода
- •Вычисление и применение криволинейного интеграла.
- •V. Варианты контрольных работ Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •Вариант 11
- •Вариант 12
- •Вариант 13
- •Вариант 14
- •Вариант 15
- •Вариант 16
- •Вариант 17
- •Вариант 18
- •Вариант 19
- •Вариант 20
- •Вариант 21
- •Вариант 22
- •Вариант 23
- •Вариант 24
- •Вариант 25
- •Вариант 26
- •Вариант 27
- •Вариант 28
- •Вариант 29
- •Вариант 30
- •Список литературы
Вычисление и применение тройного интеграла
Схема применения тройного интеграла такая же, как двойного: чертеж, выбор формул, поиск всех элементов формул, вычисление полученных интегралов.
Пример 6
Вычислить объем
тела, ограниченного поверхностями
Решение
Выполним чертеж.
Поверхность
- круговой цилиндр, его образующие
параллельны оси oz,
направляющей служит окружность в
плоскости oxy.
Плоскости z
= y,
z
= 2y
проходит
через ось ox,
но имеют разный наклон к плоскости xoy.
Они вырезают из цилиндра слой (область
G,
тело), объем которого нам нужно вычислить.
0
Объем области G
равен
.
Вычислим интеграл по формуле
.
Проекцией области
G
на плоскость xoy
является область D,
ограниченная окружностью
.
Снизу область G
ограничена
плоскостью
следовательно
Сверху ограничена плоскостью
,
следовательно
Тогда
Полученный двойной интеграл вычислим в полярных координатах:
Область D
расположена в секторе между лучами
внутри области
изменяется от
до
Ответ:
Пример 7
Найти центр массы
одородной пирамиды, ограниченной
плоскостями
Решение
-
координатные плоскости. Найдем точки
пересечения плоскости
с осями координат. Например с ox:
подставим в уравнение плоскости
получим точку (a,0,0).
a a
0 a
a 0 a
Проекция пирамиды
на плоскость
– равнобедренный прямоугольный
треугольник, ограниченный осями координат
и линией пересечения плоскости
с плоскостью
Уравнение этой линии в плоскости
или
Из соображений симметрии ясно, что все
три координаты центра массы одинаковы.
Найдем
по формуле
G – область, занятая пирамидой. Объем пирамиды
Внутри пирамиды
переменная
изменяется от
(нижняя грань) до
(верхняя грань).
Тогда
=
тогда
Ответ:
Вычисление и применение поверхностного интеграла первого рода
Схема применения:
Выбрать формулу по условию задачи и получить поверхностный интеграл.
Найти проекцию поверхности на координатную плоскость. Сделать чертеж получившейся плоской области D.
Найти формулу элемента
поверхности.
Поверхностный интеграл привести к двойному интегралу и вычислить двойной интеграл.
Пример 8
Найти массу,
распределенную по части эллипсоида
находящейся внутри цилиндра
если
поверхностная плотность массы
Решение
Масса, распределенная по поверхности с плотностью), = (x, y, z) равна поверхностному интегралу
Образующие
цилиндрической поверхности
параллельны оси oz,
направляющей является окружность в
плоскости xoy
с уравнением
.
Центр окружности О
(0;0), радиус
Следовательно, проекция заданной части
эллипсоида на плоскость xoy
– круг D,
ограниченный этой окружностью.
0 1/2
1/2 1/2
Составим формулу
элемента
Подставим z и в поверхностный интеграл и приведем его к двойному интегралу
Двойной интеграл
вычислим в полярных координатах. Возьмем
уравнение окружности
Полюс 0
находится внутри области D,
поэтому область D
занимает сектор от
до
Внутри области D
изменяется
от
до
Т.к. внутренний интеграл не зависит от , вынесем его за знак внешнего интеграла
.
Ответ:
Пример 9
Найти поток
векторного поля
через замкнутую поверхность
,
состоящую из части поверхности конуса
и плоскости
.
Решение
Выполним
чертеж.
z
0
Найдем линию пересечения поверхностей
В плоскости получили окружность с центром C(0,0,2), радиуса 2.
Вершина конуса O(0,0,0).
Проекцией обеих
поверхностей на плоскость
является круг D,
ограниченный окружностью
с центром O(0,0,0),
радиуса R=2.
Поверхность
состоит из конической поверхности
и части плоскости
поэтому
.
Формула вычисления потока
Для вычисления
потока вектора
через коническую поверхность запишем
уравнение конуса
в виде
Найдем
Вектор
составляет с oz
тупой угол,
т.е.
,
коэффициент перед
должен быть отрицательным.
Возьмем
,
т.к.
Получим
Вычислим
.
Учитывая, что на
поверхности
.
Полученный интеграл
вычислим в полярных координатах. Заменим
Вычислим
поток
вектора
через круг
в плоскости z
= 2. Единичный
вектор внешней нормали этой плоскости
равен
поэтому
(D – круг радиуса 2).
Следовательно
Ответ: