2. Основные свойства интегралов

1. 

2. если А=const.

3. Если Q разбить на части Q₁ и Q₂, то

4. - мера области Q (длина, площадь, объем)

5. Если то

6. Оценка интеграла: где Q – мера области Q; U_min и U_max – наименьшее и наибольшее значения функции U=f(M) в области Q.

7. Средним значением функции U=f(M) называют число . Непрерывная функция U=f(M) принимает значение хотя бы в одной точке М₀ области Q. .

3. Вычисление интегралов

3.1. Определенный интеграл

(1)

где F(x) – первообразная от функции f(x), т. е. .

3.2. Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл или преобразуют в определенный интеграл. Для этого все переменные и дифференциалы в подынтегральном выражении заменяют из уравнений кривой через одну переменную и ее дифференциал и вычисляют получившийся интеграл по интервалу изменения выбранной переменной на дуге L.

1. Если кривая задана параметрически то

(2)

2. Если L – график функции y=g(x) и то

. (3)

3. Если L: то

. (4)

Замечание

В определенных интегралах нижний предел нужно брать меньше верхнего.

3.3. Двойной интеграл

приводим к двукратному определенному интегралу.

1. Двойной интеграл в прямоугольных координатах.

Пусть область D ограничена прямыми х=а; х=b; (a<b) и графиками функций y=g(x); y=h(x), причем обе функции непрерывны на отрезке [a;b] и , тогда

. (5)

В правой части равенства двукратный интеграл. Очевидно, что сначала нужно вычислить «внутренний интеграл» , рассматривая х как постоянную величину, получим функцию от х, затем эту функцию проинтегрировать по х в пределах от а до b. Если область D ограничена прямыми y=a; y=b; и графиками функций x=g(y), x=h(y), , то

. (6)

Рис. 3.2

При вычислении внутреннего интеграла в этом случае нужно считать у – постоянной величиной. Заметим, что границы «внешнего интеграла» всегда постоянны. Переход от формулы (5) к формуле (6) или от формулы (6) к формуле (5) называют изменением порядка интегрирования.

Если область D не удовлетворяет условиям формул (5) или (6), то ее разбивают на части.

Рис. 3.3

2. Двойной интеграл в полярных координатах.

Чтобы в двойном интеграле перейти к полярным координатам нужно:

1. Совместить прямоугольную и полярную системы координат так, чтобы начало прямоугольных координат совпадало с полюсом 0, а ось Ох с полярной осью 0ρ.

2. Заменить в подынтегральном выражении х, у и ds по формулам: x=ρcosφ, y= ρsinφ, ds=ρdφdρ и получить

. (7)

3. По этим же формулам заменить х и у на ρ и φ в уравнении каждой границы области D, потом уравнения решить относительно ρ, получив уравнение вида ρ=g(φ). Если в уравнении границы нет ρ, решить уравнение относительно φ, получить φ=α, φ=β.

4. Пусть область интегрирования D ограничена лучами φ=α, φ=β, (α<β) и графиками функций ρ=g(φ), ρ=h(φ), .

Рис. 3.4

Тогда

. (8)

При вычислении «внутреннего» интеграла переменная φ временно считается постоянной. В частности, если полюс принадлежит границе области, получим

. (8 а)

Рис. 3.5

Если полюс находится внутри области, получим

(8 б)

Рис. 3.6