О психологии математического мышления, знаки

Одно из самых досадных заблуждений взгляда «постороннего» на природу математического мышления и открытия состоит в том, что математики мыслят сухими точными символами и в математике нет творчества. Одна из замечательных попыток понять механизмы, ле­жащие в основе математического и не только математического твор­чества, предпринял Ж. Адамар. Эта работа касается не только того вида, в котором в голове у математиков существуют их идеи, по и со­держит взгляд на природу подсознательных процессов, без которых математическое открытие невозможно. Здесь мы приведем кратко основные положения.

Во-первых, ни один человек, несмотря на уверения некоторых исследователей, не мыслит словами, а напротив, только окончатель­ный вид мыслям придается в словесной форме («Мысль изреченная есть ложь», - Ф. Тютчев). Точно так же в математике точное и, мо­жет быть, проверочное состояние математическим идеям придает их выражение в формальной форме.

Во-вторых, один из самых глубоких видов подсознания ответ­ственен за наиболее значительные открытия. Здесь необходимо упо­мянуть случай Пуанкаре.' В процессе работы над автоморфнымн функциями он довольно долго и безуспешно пытался доказать, что таких функций не существует, потом вдруг обнаружил целый класс таких функций. (Автоморфпые функции - это функции, которые под действием некоторого преобразования не меняют своих значений, они подобны периодическим.) Далее по иным причинам работа была отложена - и вдруг, в неожиданный момент, он понял, что преобра­зования, оставляющие неизменными автоморфпые функции, должны быть сродни преобразованиям неевклидовой геометрии (см. выше). В полной уверенности, что это так, через некоторое время Пуанка­ре проверил эту догадку точными выкладками, что оказалось весь­ма непросто. Можно отметить следующие моменты, первоначальный период тяжелой сознательной работы был продолжен в «бессознатель­ном», из которого затем в готовом ярком целостном виде появилось решение в виде озарения.

Таким образом, можно пометить следующую схему' сначала нужна тяжелая предварительная работа, в процессе которой все­возможные пути и идеи приведены в движение - «атомы-крючочки Эпикура» снимаются с неподвижного состояния и роятся с целью об­разовать самые немыслимые сочетания. Основной девиз в это время: * Думай около». Далее следует период некоторого забвения-отдыха. И наконец - озаренин. Озарение - это в целостном образном виде реше­ние проблемы. Далее следует период проверки и записи результатов, для того чтобы впоследствии было возможно воспользоваться этими результатами. Весь этот цикл, от тяжелой первоначальной работы до более или менее законченного вида результата, Адамар называет «результат-эстафета».

Два взаимосвязанных момента нам необходимо здесь отметить

• то, как «бессознательное» из множества бесплодных идей выби­рает перспективные:

• и знаково-образная форма мышления.

«Бессознательное» имеет дело со знаками-образами и выбирает на основе развитого чувства красоты и изящества. Развитие глубо­кого чувства прекрасного в математике и есть способ развить в себе способности к творческому мышлению. Для этого нужна, конечно же, разветвленная система математических образов-знаков. К сожа­лению, этому невозможно обучиться, разбирая последовательные це­почки математических енллогпзмоп и символов в доказательстве те­орем. Научиться имлеть теорему как целое (как совокупность всех идей и взаимосвязей) - вот что необходимо.

Для примера приведем замечательный знак-образ доказательсг-нн теоремы Кнклидно бесконечности простых чисел (Аламяр). Реше­то Эрагосфена - способ нахождения простых чисел сое i опт в иосле-дователыюм вычеркивании каждого второго, затем каждого третьего и т. д. числа из ряда всех целых чисел, в результате останутся только простые числа. Предположим, что множество простых чисел конечно, тогда, вычеркнув все кратные им (простым) (образ изгороди, крат­ной всем этим числам), найдем вблизи от кратного всем простым числам число (это число - N!), следующее - N! + 1, и между ни­ми невозможно вписать ни одну кратную простому числу изгородь, значит, это число (N! + 1) - простое (рис. 17).

, В заключение отметим, что решить самостоятельно трудную за­дачу стоит гораздо дороже, нежели прорешать по известным прави­лам множество задачников. Поэтому образование - это процесс, ко­торый мы должны производить над самими собой и по возможности самое 1 иитилыш.

ЛИТЕРАТУРА

!. Клайи .VI. Математика. Поиск истины. М.: Мир. 1У88.

2. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: Мир. 1984.

3. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983.

4. Адамзр Ж. Исследование психологии процесса изобрете­ния п области математики. М.: Советское радио. 1970.

о. Успенский В.А. Нестандартный или пеархимедов анализ. М.: Знание. 1980.

6. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX веке. М.:Л.: Гостехнздат. 1937.

7. Яглом И.М. Принцип относительности Галилея и неев-

..•,....„„,, \л . и—..— 1ПЯП

ri.ii'iMUUCi I ^v/:vtf. 1 |Ji In . I in v no, LZfyJxf.

8. Мартин H.. Ниглепд Дж. Математическая теория энтро­пии. М.: Мир. 1988.

9. Пригпжин И. От существующего к возникающему. М.: Наука. J 985.

10. Нпколнс Г.. Прнгожин И. Познание сложного. М.: Мир. 1990.

11. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.

12. Шамбадаль П. Развитие и приложение понятия энтро­пии. М.: Наука. 19Н7.

13. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука. 1У7о.

14. Пойа Д. Математическое открытие. М.: Наука. 1976.

Содержание

1. Противоречивость в понятии числа натурального

и вещественного 3

2. Континуум 6

3- Проблемы аксиоматического подхода к основаниям

математики 10

4. Д. Гильберт и формалистический подход 13

5. Постулат о параллельных и различные виды

геометрии ■ 17

6. Группы и их приложения 21

7. Лагранжев формализм и вариационные принципы механики 25

8. Нелинейные уравнения 27

9. Теория вероятностей 30

10. Энтропия 35

11. О психологии математического мышления, знаки 38

Литература 41