Геометрии

В истории науки одной из самых знаменитых проблем явил­ся V постулат аксиоматики Евклида - постулат о параллельных. Он утверждает, что через каждую точку, не лежащую на данной nptutou, можно провести единственную прямую, параллельную данной. Были предприняты безуспешные попытки доказать этот постулат исходя из других аксиом. Понятно, почему такое внимание было уделено именно этому постулату: он говорит об актуально бесконечных пря­мых, само существование которых вызвало столь великие потрясения в математике, как мы видели это выше. Тем не менее в философских воззрениях Канта этому постулату была отведена роль врожденных и каких-то таинственных истин. В какой-то мере можно сказать, что крушение этого постулата в моделях геометрии Лобачевского и под­готовило последующие далее события в области аксиоматизации ма­тематики. Дело в том, что вера в то, что мы живем в лучшем из миров, оказалась не связанной с постулатом о параллельных в фор­мулировке Евклида.

Начало процесса пересмотра оснований геометрии принято свя­зывать с именем Гаусса. В своих работах по геодезии, т. е. при изучении устройства поверхности земного шара, Гаусс пришел к по­ниманию того, что кратчайшей кривой на поверхности шара явля­ется дуга большого круга (так называется круг, плоскость которо­го проходит через центр шара). Эта кривая (кратчайшая) и носит в математике название геодезической. Один шаг, оставшийся до того, чтобы назвать такую дугу прямой и построить геометрию на сфе­ре, так называемую сферическую геометрию, Гаусс не сделал или не обнародовал (рис. 5).

Это кажется странным, но, по-видимому, дело в том, что не толь­ко боязнь быть непонятым, но и отсутствие сколь-нибудь общеприня­того примера таких геометрий, построенных как числовых моделей, остановило его.

Следующее по важности достижение в геометрии связано с по­строением Лобачевским модели геометрии, в которой постулат па­раллельных превратился в следующий: через каждую точку вне пря­мой можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной. Наиболее замечательная модель такой геометрии принадле­жит Пуанкаре. Модель Пуанкаре строится в верхней полуплоскос­ти, и прямыми здесь оказываются полукруги и лучи, ортогональ­ные вещественной оси. Самое замечательное в этой геометрии то, что движения в этой геометрии - дробно-линейные преобразования комплексной полуплоскости на себя, т. е. все здесь считается. Эта модель называется гиперболической геометрией (рис. 6), в отличие от геометрии на сфере, которая носит название эллиптической.

На этих достаточно простых моделях мы можем видеть следую­щий замечательный факт: в этих геометриях сумма углов треуголь­пика отлична от тт. В гиперболической геометрии сумма углов тре­угольника меньше 7г, в эллиптической геометрии - геометрии на по­верхности сферы - больше ж. Это приводит нас к замечательному понятию искривленности пространства.

Таким образом, мы видим два весьма простых примера геомет­рии эллиптической (геометрии на поверхности сферы), в которой любые две прямые пересекаются в двух точках, и гиперболической, или геометрии Лобачевского, где параллельных бесконечно много. Во­прос: какая же из геометрий истинная, для математика (но не для физика) звучит странно, а в свете того, что мы видели относительно аксиоматического подхода вообще, лишен смысла. Все истинные.

Одно из определений, данное математике Ф. Энгельсом, звучит так: «Наука о пространственных формах и количественных отноше­ниях». В настоящее время Бурбаки его поправили так: «Наука о ма-

ТсгааТйЧеСКЙл Структурах».

Такое развитие геометрии замечательным образом дополнено созданием Риманом дифференциальной геометрии, или римановой геометрии. Именно это открытие было решающим для создания физи­ческих теорий геометрии реального физического пространства. Ри-ман предложил измерять расстояния бесконечно малых промежутков в локальных координатах, определенных либо в пространстве, либо на поверхности:

Прямыми в римановой геометрии оказываются геодезические, или кратчайшие кривые, соединяющие две точки, т. е. те, вдоль которых интеграл от бесконечно малого расстояния оказывается наименьшим (рис. 7).

Удивительным образом в момент построения Эйнштейном его специальной теории относительности - теории, объясняющей гравита­ционные силы искривлением реального пространства - математика была готова к тому, чтобы сформулировать эти законы. В обозначе­ниях римановой геометрии <jy зависят от массы материальных тел в данной точке. Наиболее просто образно можно представить себе поведение реального эйнштейновского пространства с помощью ре­зиновой плоскости, на которую брошены массивные шары, соответ­ствующие материальным телам (рис. 8).

Ясно, что такая плоскость искривится и тем больше, чем больше масса брошенного шара. Если луч света будет пролетать мимо ма-сивного тела и выбирать себе кратчайшую траекторию, то окажется, что луч притягивается этим массивным телом. Именно объяснение этого эффекта и стало одним из решающих фактов, подтверждающих специальную теорию относительности. Искривление траектории лу­ча света от далекой звезды можно было измерить при прохождении луча вблизи от солнца.

ГРУППЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Группа одни из самых абстрактных объектов математики. Дей­ствие - это подходящий термин, которым можно оперировать для понимания этого понятия. Группа - это набор элементов, в кото­рых определена- операции умножения х * у. есть единица и обратный элемент.

Наиболее простой объект, на котором можно проиллюстрировать понятие группы - это группа перестановок. Цепочка 123 может быть переставлена в любом порядке, например 312, каждая перестановка это элемент группы, операция умножения этих перестановок - это обычная композиция, или действия, произведенные друг за другом. Так определенная операция оказывается некоммутативной, т. е. про­изведение зависит от порядка сомножителей. Единица - это тождест­венная перестановка или же ее отсутствие. Понятно, что определена обратная перестановка. Интересно, что именно так н вошло поня­тие группы в .математику: Галуа рассматривал перестановки корней многочлена, п на основе таких рассмотрений установил свою знаме­нитую теорему о неразрешимости в радикалах алгебраических урав­нений.

Следующим по времени и глубине является приложение понятия группы к рассмотрению выпуклых многогранников и к кристалло­графии. Еще древним грекам (описаны у Евклида) были известны все правильные многогранники, т. е. многогранники, у которых все гра­ны - правильные многоугольники. Это тетраэдр, куб, октаэдр, додека­эдр, икосаэдр. У тетраэдра четыре грани - правильные треугольники, у октаэдра грани - восемь правильных треугольников, у додекаэдра - 12 граней, правильных пятиугольников, у икосаэдра 20 граней, пра­вильных треугольников. Однако доказать, что других нет, греки не могли. Хотя основная идея такого доказательства чрезвычайно прос­та - нужно описать все группы движений трехмерного пространства, которые оставляют инвариантным этот правильный многогранник.

Рассмотрим на плоскости группу, состоящую из поворотов на сто двадцать градусов относите.тьно фиксированной точки и переносов-сдвигов на вектор е. Тогда вся плоскость может быть замощена правильными треугольниками, центры которых отстоят на векторы, кратные е, и векторы, полученные из е поворотами па сто двадцать и двести сорок градусов. Точно так же и в пространстве трех измере­ний можно описать все группы, которые оставляют инвариантными указанные правильные многогранники (рис. 9).

Однако самое замечательное применение таких рассмотрений нашлось в кристаллографии. Криссталл - это многогранник, струк­тура которого повторяет структуру тех атомов, из которых состо­ит вещество кристалла, и этот многогранник заполняет трехмерное пространство своими копиями. Таким образом, оказываются связан­ными две задачи: химическая - описание структуры решетки ато­мов, составляющих кристалл, и математическая — описание тех мно­гогранников, которые под действием какой-либо группы движений заполняют пространство. Такие группы движений носят название кристаллографических групп.

Эрлаигенская программа Клейна поставила на повестку дня при­менение теории групп в геометрии, провозгласила задачу классифи­цировать и изучать геометрические объекты в связи с теми груп­пами, которые оставляют инвариантными этот геометрический объ­ект. Например, .группа движений прямой как целого - набор перено­сов, их можно параметризовать набором вещественных чисел - груп­па по сложению. Группа движений окружности - набор поворотов [О,2л-) с законом сложения углов поворота. Группа движений сферы -50з, так называемая специальная ортогональная группа, параметри­зуемая группой ортогональных матриц - группа поворотов евклидова пространства. Для того чтобы эта группа стала группой движений трехмерного пространства, нужно добавить к ней группу переносов трехмерного пространства параметризуемую Я³.

Два замечательных приложения этой идеи можно отметить в фи­зике и математике. Первое - законы сложения скоростей и преобра­зования координат в галилеевой динамике и в динамике специальной теории относительности*- геометрии Минковского. Второе - пробле­ма униформизации - описания всех двумерных многообразий.

Первая -- проблема динамики - проистекает из двух законов отно­сительности. Первый закон инерции, или относительности, по Гали­лею: никаким способом нельзя отличить поведение системы при ее равномерном и прямолинейном движении относительно другой, так называемой инерциальной системы отсчета. Второй принцип отно­сительности Эйнштейна: скорость света постоянна во всех системах отсчета.

В первой геометрии расстояние между двумя точками может измеряться по пространственным координатам, если точки-события одновременны, и по временной оси, если они покоятся в одной точке. Из этого закона вытекает обычный закон сложения скоростей. По-иному - в геометрии Минковского. Здесь расстояние измеряется по закону:

и все законы преобразования временных отрезков и сложения ско­ростей следуют из инвариантности этого расстояния. Замечательно, что некоторые расстояния становятся равными 1гулю или отрицатель­ными. Это те, где движение происходит со скоростью, большей или равной скорости света.

Вторая - проблема униформизации — тесно связана с топологией. Топология - наука об объектах и их инвариантах, сохраняемых при непрерывных отображениях. Можно себе представить сферу или тор изготовленными из бесконечно растяжимой резины и проблема то­пологии - изучить, что из них можно получить, деформируя их, не разрывая. Так, проблема униформизации получила свое решение в терминах групп движений неевклидовой плоскости - гиперболичес­кой геометрии в модели Пуанкаре, а именно, дробно-линейных преоб­разоваиий комплексной полуплоскости. Если отождествить все точки инвариантные при помощи группы, то при помощи такой склейки по­лучаются все ориентируемые двумерные многообразия.

Ответ здесь такой: любое такое многообразие - сфера с п ручка­ми. Например,/ло/> - (сфера с одной ручкой) получается из квадрата приклеиванием противоположных сторон с сохранением ориентации, из шестиугольника, склеивая противоположные стороны, можно по­лучить гор с ручкой ii.ui крендель и т. п. Интересно, что, приклеивая с изменением ориентации две противоположные стороны квадрата (рис. 10), можно получить одностороннюю поверхность - неориенти-руемую - лист Мебиуса.

Но ничего подобного этой теории пока не видно в теории трех­мерных многообразий, тем более многообразий более высоких раз­мерностей. Задача весьмв заманчива, поскольку связана с проблемой возможного устройства многообразий пространства-времени.

В приложениях теории групп следует упомянуть также задачу о раскраске карт. Задача: необходимо установить, сколько цветов до­статочно для раскраски карты на плоскости так, чтобы ни одна из границ не разделяла один и тот же цвет. Аналогичная задача ставит­ся для карт на-поверхности сферы или другого многообразия. Эта на первый взгляд совсем топологическая задача в конце концов сводится к пересчету групп на поверхности. Примечательно, что для пересчета этих групп пришлось использовать ЭВМ.