Континуум

Следующую по важности и по глубине проникновения попытку осмысления понятия непрерывности и понятия числа предприняли средневековые мыслители. В работах Николая Кузанского появилась актуальная бесконечность как символ и воплощение бесконечного Бо­га. Он проводит замечательное рассуждение, математическая суть которого видна с первого взгляда. Он берет окружность как идеаль­ную фигуру, не имеющую ни конца, ни начала, одинаковую во всех своих частях, имея в виду, конечно, воплощение божественной сути, и, устремляя радиус этой окружности к бесконечности, видит, что результатом будет прямая — актуально бесконечная прямая! Труд­ности, связанные с бесконечностью и незавершимостью этого про­цесса, он относит к божественному всемогуществу. Можно сказать, что это уже понятие бесконечного пространства как целого, единство и целостность которого обеспечиваются божественной волей.

Вряд ли большое значение и распространение получили бы эти идеи, не будь на повестке дня изучение понятия движения как ма­тематического или механического явления. Главнейшим примером континуума, появившимся в естествознании, был временной конти­нуум. Время как бесконечно длящаяся и бесконечно делимая, одина­ковая в каждой своей точке величина просто потребовало осмысле­ния понятия предельного перехода и понятия числа. Опыты Галилея, как проводимые с помощью наклонной плоскости, так и его мыслен­ные опыты, перевели схоластические споры о сущности континуума в экспериментальные. Мы после Галилея начали делить путь, пройден­ный шариком по наклонной плоскости, на сколь угодно малые части и поступать точно так же и со временем.

Отождествление числовой системы и геометрической прямой, которое в нашем сознании неразрывно связано в понятии числовая прямая, было важнейшим вкладом Декарта. Дело в том, что геомет­рические задачи получили возможность выражаться и решаться в виде уравнений. Это ставило на повестку дня вопрос об актуальной бесконечности системы вещественных чисел.

Перед Ньютоном уже были объекты, которые нужно было систе­матизировать и привести к одному понятию. Это - Движение, кото­рое осуществляется в бесконечном Пространстве и таком же Времени (заметим, в актуально бесконечном).

Конечно, вся механика не была бы возможна без понятия мгно­венной скорости, которая определяется Ньютоном как «последнее отношение» - предел в нашей современной терминологии. Однако само понятие «последнее отношение» темно в понимании Ньютона: неявно при определении движения приходилось использовать движе­ние, а именно, стремление отрезка времени к нулю или понятие бес­конечно малого отрезка времени. Таким образом, смело вводя поня­тие актуально бесконечного пространства и времени, охватываемш и божественным разумом или чувством (Sensorium Dei - чувствилище Бога), Ньютон ввел понятие актуальной бесконечности в науку.

Конечно, для понимания физического пространства-времени то, что сделал Ньютон, переоценить невозможно, однако в математичес­ком анализе победила точка зрения континентальных мыслителей. Важнейшим в этой связи было понятие у Лейбница бесконечно малой величины как вещи в себе - монады, в которой возможно заключена первичная неделимая частица вещей. Лейбниц, возможно, хотел выде­лить фундаментальность этого понятия как идеи, на которой можно построить здание математического анализа.

Неудовлетворительность обращения к интуитивно обосновывае­мым понятиям типа бесконечно малой величины, которая является и ненулевым числом и в то же время числом, меньшим любого дру­гого (т. е. для этих чисел не выполняется аксиома Архимеда), была осознана в начале XIX века. Коти, казалось бы, сумел устранить по­нятие движения из первичных понятий предела последовательности и функции. Этим достижением, правда в современной трактовке, по сегодняшний день горделиво пестуют новые поколения математиков на курсах математического анализа.

Язык е 5 заменил понятие движения, содержащееся в бесконечно малой величине, на понятие функционального соответствия между е и S. Т. е. вместо одной актуальной бесконечности получается две, да еще и функциональная зависимость между ними.

Вообще весь период развития математического анализа вплоть до конца XIX века можно назвать периодом функционального мышле­ния, понятие функции, как соответствия между двумя множествами, причинами и следствиями, пронизало вообще все мышление того вре­мени. Рационализм века Возрождения понуждал искать причинно-следственную связь в явлениях окружающего мира, и это приводило к новым и новым функциям - соответствиям между двумя актуально бесконечными множествами.

Принцип математической индукции как рзссуждени¹? с 6?скг>нрч-ным количеством утверждений был одной из критических точек осмысления роли двух бесконечностей. Принцип этот состоит в сле­дующей цепочке утверждений:

1. Пусть верно А(1);

2. Из верного А(к) следует А(к+1);

тогда верны все утверждения для любого к. Здесь, производя по­следовательные шаги от первого утверждения до бесконечности, мы имеем дело с потенциальной бесконечностью. Но как только мы утверждаем для любого к, мы говорим об актуальной бесконечности.

Критическим моментом было появление новых математических объектов, которые иногда назывались математическими «монстра­ми». Это примеры нигде не дифференцируемых функций, функций разрывных в каждой точке, множеств, сам процесс построения кото­рых вызывал сомнения, что же говорить о результате этого процесса. Самый знаменитый пример - это канторово множество, получаемое последовательным удалением средней трети сначала из единичного отрезка, потом из двух оставшихся отрезков и т. д. на n-м шаге из 2" отрезков 2" средних третей. Получающееся в результате бесконеч­ного числа удалений, всюду разрывное, нигде не плотное множество

Б

называется канторовым множеством (рис. 3).

ольшим сюрпризом для математики XIX века стало понима­ние того, что все тело математического анализа насквозь пронизано аксиомой выбора. Аксиома выбора утверждает, что из любой совокуп­ности множеств (особенно интересно, когда их бесконечно много) можно осуществить выбор ровно по одному элементу. Такой выбор осуществляется, когда выбирается последовательность х_п, по одному члену из каждого множества А„ или отрезка [а_п;Ь_п]. Это происхо­дит, например, при доказательстве того, что непрерывная функция достигает максимума на отрезке.

Стало ясно, что спасением для понимания, что такое чисто, мп-жет стать аксиоматический метод, когда система постулатов-аксиом задает естественные и непреложные правила, по которым функци­онирует система вещественных чисел. Наиболее важной и сущест­венной в рамках нашего вопроса является аксиома полноты системы вещественных чисел. Формулировка этой аксиомы в виде аксиомы о сечении Дедекинда является, может, не самой простой, но наиболее выпукло проясняющей суть дела и проявляющей стиль, победивший в воззрениях на анализ.

Аксиома Дедекинда. Если осуществить разбиение системы дей­ствительных чисел на два непустых подмножества так, чтобы каж­дый элемент одного подмножества был больше каждого элемента дру­гого, то в силу полноты системы вещественных чисел отыщется точка, осуществляющая это сечение или разделяющая эти два под­множества. Критический взгляд на суть предлагаемого подхода про­ясняет, что понятие актуальной бесконечности находится в понятии разбиения прямой на два актуально бесконечных подмножества.

Вообще, в обиходном стихийном сознании оснований современ­ной математики как интуитивной теории множеств на самом началь­ном этапе рассматриваются актуально бесконечные множества. Как будто перед нами есть какая-то возможность предъявить все эле­менты такого множества или устроить проверку над бесконечным количеством элементов на принадлежность множеству. Хотя со вре­мен древнегреческой математики пройден путь гигантского масшта­ба и мы бодро и храбро беремся за бесконечные множества, проблема далека от своего разрешения.