Дифференциальное исчисление
1. Найти производную сложной функции:
1. |
6.
|
2.
|
7.
|
3.
|
8.y= cos( x3+lnx). |
4.
|
9. y= (sinx +5)3. |
5. |
10. y= ln(x2+2x). |
2. Найти производную функции в точке х=1
.
3. Объем продукции u,
произведенный бригадой рабочих, может
быть записан уравнением
,
где t - рабочее время в
часах. Вычислить производительность
труда за час до его окончания.
4. Найти экстремум функции
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5.Определить интервалы возрастания и убывания функции:
1)
;
2)
;
3)
4)
5)
6)
6. Найти точку перегиба функции:
1)
2)
3)
4)
7
.
Исследовать функции и построить их
графики:
Функции нескольких переменных
1. Найти частные производные первого порядка и полный дифференциал для функций:
2. Найти экстремум функции двух переменных:
Интегральное исчисление
1. Используя метод разложения, вычислить:
2
.
Используя метод замены переменных,
вычислить:
3. Вычислить, используя метод интегрирования по частям:
4
.
Проинтегрировать рациональную функцию:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5. Вычислить определенный интеграл
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Аналитическая геометрия на плоскости
1. Найти уравнение множества точек, равноудаленных от точки А (-4;2) и В(-2; -6).
2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А ( 3; -2) и В (0; 1).
3. Дана прямая 2х + 3у +1 =0. Найти прямую, параллельную данной и проходящую через точку А (0; 4).
4. Дана прямая 2х + 3у +1 =0. Найти прямую, перпендикулярную данной и проходящую через точку А (0; 4).
5. Составить уравнение прямой, проходящей через центры окружностей x2 + y2 =5 и x2 +y2 +2x +4y -31 =0. Найти отношение радиусов окружностей.
6. Ординаты всех точек окружности x2 + y2 =36 сокращены втрое. Написать уравнение полученной новой кривой.
7.
Эллипс проходит через точки М1
и М2(0,6).
Найти полуоси, координаты фокусов и
эксцентриситет эллипса.
8. Эллипс проходит через точки М1(2;7) и М2(7;3). Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса.
9.
Определить вид и расположение кривой
10.
Составить уравнение гиперболы, если ее
асимптоты заданы уравнениями
и гипербола проходит через точку М(10;
-3
).
11. Определить геометрическое место точек М(x,y), расстояние от которых до прямой x=1 вдвое меньше, чем до точки F(4;0).
12. Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2;0)) и от прямой y=2.
Линейная алгебра
1. Вычислить матрицу D = A−3B, где
2. Вычислить матрицу С=A∙B, где
3
.
Предприятие выпускает продукцию трех
видов P1, P2, P3 и использует сырье двух
типов S1,S2. Нормы расходов сырья
характеризуются матрицей
.
План выпуска продукции задан матрицей строкой С=(100 80 130 ), стоимость единицы каждого типа сырья – матрицей-столбцом
Определить затраты сырья, необходимые для планового выпуска продукции.
4. Вычислить матрицу D = (AB)т – C2, где
5. Вычислить матрицу D= ABC -3E, где Е – единичная матрица,
6. Найти произведение матриц АВС, где
7. Вычислить А3, если
8. Вычислить определители:
9. Определить, имеет ли матрица обратную, и если имеет, то вычислить ее:
10. Найти ранги матриц:
4)
11. При каких значениях а матрица А не имеет обратной:
12. Решить системы уравнений методом обратной матрицы и по формулам Крамера:
13.Решить системы уравнений методом Гаусса:
1)
2)
3)
14. Исследовать совместность, найти общее решение и одно частное решение:
1)
2)
3)
4)
5)
15. Даны векторы
и
.
Найти вектор, длину вектора
.
16. Даны векторы
и
.
Найти скалярное произведение двух
векторов
.
17. Даны векторы
и
.
Найти косинус угла между ними.
18. Выяснить, являются ли векторы А1, А2, А3 линейно зависимыми:
1) А1=(2; -1; 3), А2=(1; 4;-1), А3=(0; -9; 5).
2) А1=(1; 2; 0), А2=(3; -1; 1), А3=(0; 1; 1).
3) А1=(1; 3; 1; 3), А2=(2; 1; 1; 2), А3=(3; -1; 1, 1).
19. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы:
