Имитация случайных величин

Моделирование случайных факторов.

Слуяайные факторы в зависимости от их природы могут быть отражены в модели как случайные события, случайные величины (дискрет.или непрер) или как случайные функции (процессы).

Датчики, которые использ, должны обладать след.св-ми:

-Равномерность

-Стохастичность (случайность)

-Независимость.

Проверка сводится к построению гистограмм последовательности СЧ.

Проверка равномерности м.б. выполнена с помощью гистограммы относительных частот генерируемой СВ. чем ближе огибающая гистограммы к прямой, тем в большей степени генерируемая послед-ть отвечает требованию равномерности распределения.

9.10.12.

Проверка стохастичности.

Рассмотрим один из основных методов – метод комбинаций. Суть его сводится к следующему: выбирают достаточно большую последовательность случайных чисел xi и для нее определяют вероятность появления в каждом из xj ровно j единиц.

При попадании r в интервал [0, Pc] считают, что событие А наступило, в противном случае – не наступило.

Метод интерпретации.

Основан на трактовке моделируемого закона распределения. Например, биномиальное распределение описывает число успехов в n независимых испытаниях с вер-тью успеха в каждом испытании Р и вероятностью неудачи g=1-P.

При моделировании этого распределения с помощью метода интерпретации выбирают n независимых С, равномерно распределенных на интервале [0,1], и количество тех из них, которые меньше Р. Это число является моделируемой СВ.

Имитационное модел-ние явлений и объектов, формальное описание которых возможно с помощью представления их в виде СВ с заданным законом распределения основывается на использовании СЧ с равномерным законом распределения. Такие преобр-я могут быть осуществлены с помощью метода обр. функции, предельных теорем теории вер-ти, приближенных методов и т.д.

Метод обр.функции

Пусть непрерывная случ.величина (СВН) η задана своим законом распределения:

,

Где – плотность распределения вероятностей,

– функция распределения вероятностей.

Доказано, что случ.величина распределена равномерно на интервале (0, 1). Отсюда следует, что искомое значение y может быть определено из уравнения:

, (**)

Которое эквивалентно уравнению:

, (*)

Где y – значение случ.величины η, а х – значение случ.величины ε. Решение уравнения (*) можно записать в общем виде через обр.функцию: .

Основная проблема заключ.в том, что интеграл (**) не всегда берется, а уравнение (*) не всегда решается аналитическими методами.

Пример.

Получить в соответствии с методом обр.функции преобразование, позволяющее вычислить значение СВ η, распределенной по показательному закону.

Решение.

Показательный закон характеризуется функцией плотности:

.

Воспользуемся методом обр.функции, вычислим интеграл (**) и получим уравнение вида (*):

или . Тогда , прологарифмировав ур-ние через y, будем иметь:

. (***)

Получая значение х с помощью датчика равномерно распределенных СЧ на интервале (0,1) можно получить значения y в соответствии с выражением (***). Показательный закон распределения особенно часто использ.для исследования СМО и определения показателей надежности систем.

Пример 2.

Получить преобразование в соответствии с методом обратной функции СВ η вычислить значение СВ η, распределенной по закону Вейбулла.

Решение.

Плотность распределения такой СВ имеет вид:

,

– параметры закона распределения, введем обозначение . Нетрудно вывести уравнение вида (*). Для данного распределения оно имеет вид:

.

Следовательно, .

распределение Вейбулла имеет место при исследовании отказов элементов оборудования, возникших в рез-те износа и старения. Параметр носит название и имеет смысл интенсивности отказов.

При α=1 закон Вейбулла совпадает с показательным, при α<1 интенсивность отказа является монотонно убывающей, а при α>1 – монотонно возрастающей функции.